On a stochastic process doubly indexed, with margins estimating the extreme value index , and its Gaussian and non Gaussian asymptotic.: Estimating extreme value index with asymptotic fonctional process

Aucunhis thesis is a contribution to the statistical modeling of the index of extreme values ​​in the univariate framework. It aims to propose a generalization of Hill's estimator (1975). For this, we are interested in the study of a new functional statistics.This stochastic process Tn (f, s) is such that each of its margins is an estimator of the extremal index (PSMEI). It allows to study the consecutive spacings of the order statistics of the random variable Y = logX.The asymptotic theory of this PSMEI process reveals Gaussian and non-Gaussian boundary laws. The study of the optimal variance of the family of Gaussian estimators allowed us to discover an efficient and very stable estimator of the extremal index when the two parameters f and s are equal, with a sufficiently weak bias.To this doubly indexed stochastic process Tn (f, s) is added a complete study of the mathematical theory of extreme values ​​in the framework of the theory of vague convergence.Cette thèse est une contribution à la modélisation statistique de l’indice des valeurs extrêmes dans le cadre univarié. Elle vise à proposer une généralisation de l’estimateur de Hill (1975). Pour cela, nous nous sommes interessés à l’étude d’une nouvelle statistique fonctionnelle.Ce processus stochastique Tn ( f, s) est tel que chacune des ses marges est un estimateur de de l’index extrémal (PSMEI). Il permet d’étudier les espacements consécutifs des statistiques d’ordre de la variable aléatoire Y = logX.La théorie asymptotique de ce processus PSMEI révèle des lois limites Gaussiennes et non-Gaussiennes. L’étude de la variance optimale de la famille d’estimateurs gaussiens nous a permis de découvrir un estimateur efficace et très stable de l’index extrémal lorsque les deux paramètres f et s sont égaux, avec un biais suffisamment faible.A ce processus stochastique Tn ( f, s) doublement indexé, s’ajoute une étude complète de la théorie mathématique des valeurs extrêmes dans le cadre de la théorie de la convergence vague