Analyse statique de programmes fonctionnels avec une application au problème du frame dans le domaine de la vérification déductive

In the field of software verification, the frame problem refers to establishing the boundaries within which program elements operate. It has notoriously tedious consequences on the specification of frame properties, which indicate the parts of the program state that an operation is allowed to modify, as well as on their verification, i.e. proving that operations modify only what is specified by their frame properties. In the context of interactive formal verification of complex systems, such as operating systems, much effort is spent addressing these consequences and proving the preservation of the systems' invariants. However, most operations have a localized effect on the system and impact only a limited number of invariants at the same time. In this thesis we address the issue of identifying those invariants that are unaffected by an operation and we present a solution for automatically inferring their preservation. Our solution is meant to ease the proof burden for the programmer. It is based on static analysis and does not require any additional frame annotations. Our strategy consists in combining a dependency analysis and a correlation analysis. We have designed and implemented both static analyses for a strongly-typed, functional language that handles structures, variants and arrays. The dependency analysis computes a conservative approximation of the input fragments on which functional properties and operations depend. The correlation analysis computes a safe approximation of the parts of an input state to a function that are copied to the output state. It summarizes not only what is modified but also how it is modified and to what extent. By employing these two static analyses and by subsequently reasoning based on their combined results, an interactive theorem prover can automate the discharching of proof obligations for unmodified parts of the state. We have applied both of our static analyses to a functional specification of a micro-kernel and the obtained results demonstrate both their precision and their scalability.Dans le domaine de la vérification formelle de logiciels, il est impératif d'identifier les limites au sein desquelles les éléments ou fonctions opèrent. Ces limites constituent les propriétés de frame (frame properties en anglais). Elles sont habituellement spécifiées manuellement par le programmeur et leur validité doit être vérifiée: il est nécessaire de prouver que les opérations du programme n'outrepassent pas les limites ainsi déclarées. Dans le contexte de la vérification formelle interactive de systèmes complexes, comme les systèmes d'exploitation, un effort considérable est investi dans la spécification et la preuve des propriétés de frame. Cependant, la plupart des opérations ont un effet très localisé et ne menacent donc qu'un nombre limité d'invariants. Étant donné que la spécification et la preuve de propriétés de frame est une tache fastidieuse, il est judicieux d'automatiser l'identification des invariants qui ne sont pas affectés par une opération donnée. Nous présentons dans cette thèse une solution inférant automatiquement leur préservation. Notre solution a pour but de réduire le nombre de preuves à la charge du programmeur. Elle est basée sur l'analyse statique, et ne nécessite aucune annotation de frame. Notre stratégie consiste à combiner une analyse de dépendances avec une analyse de corrélations. Nous avons conçu et implémenté ces deux analyses statiques pour un langage fonctionnel fortement typé qui manipule structures, variants et tableaux. Typiquement, une propriété fonctionnelle ne dépend que de quelques fragments de l'état du programme. L'analyse de dépendances détermine quelles parties de cet état influent sur le résultat de la propriété fonctionnelle. De même, une fonction ne modifiera que certaines parties de ses arguments, copiant le reste à l'identique. L'analyse de corrélations détecte quelles parties de l'entrée d'une fonction se retrouvent copiées directement (i.e. non modifiés) dans son résultat. Ces deux analyses calculent une approximation conservatrice. Grâce aux résultats de ces deux analyses statiques, un prouveur de théorèmes interactif peut inférer automatiquement la préservation des invariants qui portent sur la partie non affectée par l’opération concernée. Nous avons appliqué ces deux analyses statiques à la spécification fonctionnelle d'un micro-noyau, et obtenu des résultats non seulement d'une précision adéquate, mais qui montrent par ailleurs que notre approche peut passer à l'échelle