Ensembles de contrôle des sytèmes linéaires et classification des structures presque riemanniennes sur les groupes de Lie.

This Thesis analyzes the control sets of linear control systems and the isometries of almost-Riemannian structures on Lie groups. The main goal for the first topic is to characterize the properties of control sets such as existence, uniqueness, boundedness and invariance. We study such properties for Lie groups decomposable by eigenvalues of the linear vector field and extend some results to non-compact semi-simple Lie groups with finite center. The second topic main objective is to characterize isometry properties of almost-Riemannian structures. We search for invariants under isometries such as the singular locus and the set of the linear vector field singularities. For nilpotent Lie groups, we prove that all isometries are affine, that is, a composition of a translation with a Lie group automorphisms. To finish this topic we use the obtained results to classify the almost-Riemannian structures on low dimensional Lie groups.Cette Thèse analyse les ensembles de contrôle de systèmes de commande linéaires et les isométries de structure presque-Riemanniennes sur des groupes de Lie. Dans la première partie, le but principal est de caractériser les propriétés d'ensembles de contrôle comme l'existence, l'unicité, le fait d'être limité et l'invariance. Nous étudions ces propriétés pour des groupes de Lie décomposables par les valeurs propres du champ vectoriel linéaire et étendons les résultats à des groupes de Lie non-compacts semi-simples avec un centre fini. L’objectif principal de la deuxième partie est de caractériser les propriétés d'isométrie des structures presque-Riemanniennes. Nous cherchons des invariants dans des isométries telles que le locus singulier ou l'ensemble des singularités de champs vectoriels linéaires. Pour des groupes de Lie nilpotents, nous prouvons que toutes les isométries sont affines, c’est-à-dire qu’elles se composent d'une translation et d’automorphismes d’un groupe de Lie. Nous utilisons les résultats obtenus pour classifier les structures presque-Riemanniennes en des groupes de Lie de faible dimension