Parcimonie et imagerie électromagnétique dans des situations non-linéaires

So-called quantitative electromagnetic imaging focused onto here is the problem of determining material properties from scattered fields measured away from the domain under investigation. Solving this inverse problem is a challenging task because it is ill-posed due to the presence of (smoothing) integral operators used in the representation of scattered fields in terms of material properties, and scattered fields are obtained at a finite set of points through noisy measurements. Moreover, the inverse problem is nonlinear simply due the fact that scattered fields are nonlinear functions of the material properties. The work described in this thesis deals with the ill-posedness of the electromagnetic imaging problem using sparsity-based regularization techniques, which assume that the scatterer(s) capture only a small fraction of the investigation domain and/or can be described in sparse fashion on a certain basis. The primary aim of the thesis is to intensively investigate sparsity regularization for nonlinear inverse problems. Therefore, we focus on sparsity-regularized nonlinear Tikhonov method which directly solves the nonlinear minimization problem using Landweber iterations, where a thresholding function is applied at every iteration step to promote the sparsity constraint. This scheme is accelerated using a projected steepest descent method and replaces the thresholding operation to enforce the sparsity constraint. This approach has also been implemented in wavelet domain which allows an accurate representation of the unknown function with a reduced number of coefficients. Additionally, we investigate a method correlated with the joint sparsity which gives multiple sparse solutions that share a common nonzero support in order to solve concerned nonlinear problem.L'imagerie électromagnétique est le problème de la détermination de la distribution de matériaux à partir de champs diffractés mesurés venant du domaine les contenant et sous investigation. Résoudre ce problème inverse est une tâche difficile car il est mal posé en raison de la présence d'opérateurs intégraux (de lissage) utilisés dans la représentation des champs diffractés en terme de propriétés des matériaux, et ces champs sont obtenus à un ensemble fini et non nécessairement optimal de points via des mesures bruitées. En outre, le problème inverse est non linéaire simplement en raison du fait que les champs diffractés sont des fonctions non linéaires des propriétés des matériaux. Le travail décrit traite du caractère mal posé de ce problème d'imagerie électromagnétique en utilisant des techniques de régularisation basées sur la parcimonie, qui supposent que le(s) diffracteurs(s) ne capture(nt) de fait qu'une petite fraction du domaine d'investigation. L'objectif principal est d'étudier de manière approfondie la régularisation de parcimonie pour les problèmes inverses non linéaires. Par conséquent, nous nous concentrons sur la méthode de Tikhonov non linéaire normalisée qui résout directement le problème de minimisation non linéaire en utilisant les itérations de Landweber, où une fonction de seuillage est appliquée à chaque étape pour promouvoir la contrainte de parcimonie. Ce schéma est accéléré à l'aide d'une méthode de descente de plus grande pente projetée et remplace l'opération de seuillage pour faire respecter cette contrainte. Cette approche a également été implémentée dans un domaine d'ondelettes qui permet une représentation précise de la fonction inconnue avec un nombre réduit de coefficients. En outre, nous étudions une méthode corrélée à la parcimonie qui offre de multiples solutions parcimonieuses qui partagent un support commun non nul afin de résoudre le problème non linéaire concerné