Hyperbolicity and ends of Schreier graphs

Cette thèse est consacrée à l'étude de la topologie à l'infini d'espaces généralisant les graphes de Schreier. Plus précisément, on considère le quotient X/H d'un espace métrique géodésique propre hyperbolique X par un groupe quasi-convexe-cocompact H d'isométries de X. On montre que ce quotient est un espace hyperbolique. Le résultat principal de cette thèse indique que le nombre de bouts de l'espace quotient X/H est déterminé par les classes d'équivalence sur une sphère de rayon explicitement calculable. Dans le cadre de la théorie des groupes, on montre que l'on peut construire explicitement des groupes et des sous-groupes pour lesquels il n'existe pas d'algorithme permettant de déterminer le nombre de bouts relatifs. Si le sous-groupe est quasi-convexe, on donne un algorithme permettant de calculer le nombre de bouts relatifs.This thesis is devoted to the study of the topology at infinity of spaces generalizing Schreier graphs. More precisely, we consider the quotient X/H of a geodesic proper hyperbolic metric space X by a quasiconvex-cocompact group H of isometries of X. We show that this quotient is a hyperbolic space. The main result of the thesis indicates that the number of ends of the quotient space X/H is determined by equivalence classes on a sphere of computable radius. In the context of group theory, we show that one can construct explicitly groups and subgroups for which there are no algorithm to determine the number of relative ends. If the subgroup is quasiconvex, we give an algorithm to compute the number of relative ends