Scaling limits for modulated infinite-server queues and related stochastic processes

In dit proefschrift ontwikkelen we wiskundige modellen en methodes die inzicht kunnen bieden in het gedrag van wachtrijen en daaraan gerelateerde stochastische processen. Het vernieuwende aspect van de modellen is de aanwezigheid van een stochastische omgeving die de wachtrij beïnvloedt. Dit betekent dat de parameters van de wachtrij afhangen van een ander stochastisch proces, dat het achtergrondproces wordt genoemd. Dit verschijnsel staat bekend als modulatie en wordt gebruikt om wachtrijen te beschrijven waarin meer variabiliteit aanwezig is dan wordt beschreven door klassieke wachtrijmodellen. In het eerste deel van het proefschrift bestuderen we hoe het aantal klanten in een gemoduleerd systeem met oneindig veel servers zich gedraagt op een vast tijdstip. Voor dit scenario leiden we limieten af in een drietal regimes, namelijk het regime van normale afwijkingen (Engels: central-limit regime), het regime van middelgrote afwijkingen (Engels: moderate-deviations regime) en het regime van grote afwijkingen (Engels: large-deviations regime). In het tweede deel van dit proefschrift onderzoeken we het gedrag van bepaalde gemoduleerde stochastische processen op padniveau. We nemen hierbij aan dat het achtergrondproces een Markovketen met een eindige toestandsruimte is. In het bijzonder richten we ons op netwerken van wachtrijsystemen met oneindig veel servers, op Erlangmodellen en op Ornstein-Uhlenbeckprocessen onder Markoviaanse modulatie. We tonen aan dat deze processen zwak convergeren op padniveau en laten zien dat de bijbehorende limietprocessen oplossingen zijn van bepaalde stochastische differentiaalvergelijkingen