Solución general de la ecuación an+1 - an-1 = f(n) usando la transformada Z

Es normal que en los primeros inicios en el estudio de las matematicas se aborden temas desde las funciones continuas, ya sea por facilitar su comprension o simplemente porque ¿es costumbre¿. Esto ocasiona en los estudiantes una inclinacion hacia la continuidad, en contravia con la mayoria de los fenomenos fisicos que finalmente son modelados por funciones discontinuas. Realmente es en asignaturas como fisica, estadística y economía donde empieza a notarse esta inclinacion, que conlleva a dificultades en el manejo matematico de estas areas. Igual ocurre al momento de resolver una ecuacion diferencial, donde las tecnicas de solucion en forma exacta parecieran indicar que esto siempre es posible, en tanto que la realidad muestra que soluciones de ecuaciones diferenciales en t´erminos de funciones elementales son muy pocas y que los metodos de solucion aproximada cada vez son mas usados. Esta monografia ya muestra la estrecha relacion entre ecuacion diferencial y ecuacion en diferencias, siendo estas ultimas un recurso util en la solucion de las primeras. En la solucion de ecuaciones en diferencias que expondremos aquí, adem´as de detallar por completo su solución en el caso de primer y segundo orden, tambi´en se mostrar´a como la transformada Z de una funcion, resulta ser un recurso util para solucionar ecuaciones como la de Fibonacci y en general ecuaciones de la forma III an+1 - an-1 = f(n) y an+1 + an-1 = f(n). Aplicaciones de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias se encuentran en todas las ciencias; en particular, en Economia hay una interesante aplicacion en inventarios, que es el modelo de inventarios de Metzler, una ecuacion de diferencias de segundo orden, la cual divulgaremos en este trabajo