Simulation des écoulements de fluides viscoélastiques par une formulation en logarithmique du tenseur de conformation

L'objectif des travaux présentés dans cette thèse est d'explorer de nouvelles méthodes numériques efficaces et robustes pour la résolution par la méthode des éléments finis des problèmes d'écoulements des fluides viscoélastiques pour des nombres de Weissenberg élevés. La motivation de cette étude provient en grande partie au fait que les fluides viscoélastiques sont à la base de nombreuses applications industrielles, notamment dans l'industrie des polymères, l'industrie des pâtes de papiers, l'industrie alimentaire, etc... Ces écoulements sont régis par un système d'équations aux dérivées partielles fortement non linéaire composé des équations de Navier Stokes (ou Stokes pour les écoulements lents) et d'une équation constitutive modélisant la contribution du polymère. Les rhéologues ont mis à la disposition de la communauté scientifique plusieurs modèles. Dans ce travail, afin de pouvoir effectuer des comparaisons avec les travaux effectués par d'autres chercheurs déjà disponibles dans la vaste littérature du domaine, nos simulations numériques ont été faites pour les modèles de Oldroyd-B, PTT et Giesekus. La méthodologie utilisée est toutefois assez générale. Une des difficultés majeures rencontrées dans la simulation numérique des fluides viscoélastiques est la perte de convergence des algorithmes pour des problèmes à faibles nombres de Weissenberg. Ainsi, dans l'optique d'améliorer la convergence des schémas numériques, nous nous sommes proposés de développer et d'implémenter de nouveaux algorithmes en nous basant sur la nouvelle formulation en logarithmique du tenseur de conformation. Cette formulation a été utilisée pour la première fois dans le contexte des fluides viscoélastiques par Fattal et Kupferman et al. (21). Par la suite, en nous inspirant de Coronado et al. (35), nous avons introduit deux autres formulations logarithmiques. La première est une variante de celle proposée par Coronado et al. (35) avec un traitement spécial pour le terme convectif. La deuxième formulation permet une linéarisation complète des équations pour la résolution par la méthode de Newton. Les deux méthodes que nous proposons ont l'avantage d'être relativement simple à mettre en oeuvre. Pour tester la robustesse de ces nouvelles formulations, quelques calculs ont été effectués pour le problème d'écoulement autour d'un cylindre et l'inévitable problème de la contraction 4:1 sur des maillages non structurés anisotropes obtenus par la stratégie générale de remaillage adaptatif développée au GIREF. Nous avons ensuite jugé utile d'appliquer cette nouvelle formulation logarithmique pour la résolution de quelques problèmes de surfaces libres. Nous avons étudié la présence des écoulements secondaires et leur influence sur la morphologie des écoulements complexes des problèmes multi-couches dans une filière. En effet, nous avons montré qu'il possible de résoudre des problèmes multi-couches dans une filière tridimensionnelle en résolvant un problème bidimensionnel de surface libre instationnaire seulement sur une section. Nous avons également traité un problème de cisaillement d'une goutte dans une matrice fluide. Il s'agit ici d'un écoulement régi par la tension superficielle. Le calcul des sufaces libres est rendu possible grâce à la méthode des surfaces de niveau (level set method). Cette méthode requiert la résolution d'une équation de transport pour trouver la nouvelle position de l'interface. L'interface constitue une zone de transition de largeur 2 ε des paramètres rhéologiques des deux fluides. Ces paramètres sont régularisés à l'interface pour éviter de gérer des discontinuités. Une technique de réinitialisation a été mise en oeuvre pour remédier à d'éventuels problèmes de conservation de masse. Ces techniques sont falicitées par l'introduction de la méthode de remaillage adaptatif. Celle-ci permet de concentrer les éléments dans l'interface permettant ainsi de faire les calculs avec une meilleure précision. Pour la résolution des équations hyperboliques, notamment l'équation constitutive, de transport et de régularisation de l'interface, nous avons utilisé la méthode de stabilisation de type SUPG. Il résulte de ces développements une méthode de résolution nettement plus performante que les méthodes classiques