Approximation of Baker domains and convergence of Julia sets.

Der Ziel dieser Arbeit ist der Hausdorff Konvergenz der Juliamengen zu beweisen, als wir eine Familie von ganzen transzendenten Funktionen, die ein einziges Bakergebiet enthalten, approximieren. Als erstes geben wir eine vollständige dynamische Beschreibung der approximierenden transzendenten Funktionen und zeigen die Existenz von invarianten Gebiete unter der Iterierte. Insbesondere besitzen die approximierenden Funktionen ein Attraktionsgebiet, das gegen das Bakergebiet als Kernel im Sinn von Carathéodory konvergiert. Letztlich beweisen wir Hausdorff Konvergenz auf zwei Wege. Einerseits zeigen wir unter bestimmten Bedingungen der Fatoumenge der Grenzfunktion die Hausdorff Konvergenz der Juliamengen. Anderseits zeigen wir unter verschiedenen Bedingungen der Fatoumenge der Grenzfunktion die Hausdorff Konvergenz der ausgefüllten Juliamengen, die bezüglich der Bakergebiet oder der Attraktionsgebiet definiert sind.The goal of this thesis is to prove the Hausdorff convergence of Julia sets as we approximate a family of transcendental entire functions featuring a unique Baker domain. At first, we give a dynamical description of the approximating transcendental functions and show the existence of invariant structures in the Fatou set under iterates. In particular, the approximating functions have a basin of attraction converging to the Baker domain as kernels in the sense of Carathéodory. Finally, we prove Hausdorff convergence in two different ways. On the one hand, given certain conditions on the Fatou set of the limit functions we obtain Hausdorff convergence of the Julia sets. On the other hand, using different conditions on the Fatou set we obtain convergence of the filled Julia sets, which are defined with respect to the Baker domains or the approximating basin of attraction