Kollektive Dynamik in Netzwerken pulsgekoppelter Oszillatoren

Pulsgekoppelte Oszillatoren stellen eine paradigmatische Klasse dynamischer Systeme dar, die zu Netzwerken miteinander verknüpft sind. Sie modellieren eine Vielfalt natürlicher Systeme, neben anderen zum Beispiel Erdbeben, leuchtende Glühwürmchen, zirpende Grillen ebenso wie Schrittmacherzellen des Herzens und neuronale Netze. In dieser Arbeit betrachten wir zwei wesentliche Themengebiete, die bei der Behandlung pulsgekoppelter Oszillatoren auftreten. Diese sind durch biologische neuronale Netze motiviert: Das erste Themengebiet ist die Präsenz von verzögerter Wechselwirkung, das zweite die Komplexität der Netzwerkstruktur. Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. Nach einer Einführung in das Fachgebiet stellen wir kurz die Modellklasse pulsgekoppelter Oszillatoren vor, die in der dieser Arbeit untersucht wird und diskutieren die Vorteile dieser Modellklasse für analytische und numerische Studien. Wir analysieren dann zunächst Oszillator-Netzwerke mit verzögerter, globaler Pulskopplung. Ein solches Netzwerk stellt das erste Beispiel eines dynamischen Systems dar, das natürlicherweise periodische Orbits aufweist, die sowohl attraktiv als auch instabil sind. Sie sind vor Attraktionsbassins anderer Attraktoren umschlossen, so dass beliebig kleines Rauschen zu einem Umschalten zwischen Attraktoren führt. In einem grossen Parameterbereich werden solche instabilen Attraktoren mit zunehmender Netzwerkgröße die dominate Attraktorform. Als nächstes betrachten wir Netzwerke mit komplexer Struktur. Zunächst präsentieren wir eine exakte Stabilitätsanalyse für synchrone Zustände in Netzwerken mit beliebiger Konnektivität. Im Gegensatz zur konventionellen Stabilitätsanalyse, ist die Stabilität hier durch eine Vielzahl von Operatoren bestimmt. Wir behandeln dieses Multi-Operator-Problem analytisch exakt und zeigen, dass in Netzwerken inhibitorisch gekoppelter Oszillatoren der synchrone Zustand stabil ist, unabhängig von den Parametern und der Netzwerkkonnektivität. Überdies zeigen wir erstmalig theoretisch Evidenz dafür, dass der synchrone Zustand mit regulärer Dynamik mit einem balancierten Zustand mit irregulärer Dynamik in Zufallsnetzwerken mit starker Wechselwirkung koexistiert. Wir schlagen einfache Mechanismen zum Umschalten zwischen diesen qualitativ verschiedenen Zuständen vor. Es tritt die Frage auf, ob diese Ergebnisse auch in einer größeren Klasse von Modellen gültig sind, die durch eine strukturelle Störung aus dem Originalmodell hervorgehen. Schließlich analysieren wir diese Frage detailliert, indem wir zunächst eine Unterklasse einfacherer Modelle identifizieren: In dieser Unterklasse sind alle multiplen Operatoren degeneriert, so dass wir mit einem herkömmlichen Ein-Operator Problem der Stabilität konfrontiert sind. Wir präsentieren numerische Evidenz dafür, dass Zufallsmatrixtheorie nützliche Abschätzungen zum Stabilitätsproblem der Synchronisation auf Zufallsnetzwerken liefert. Diese Abschätzungen legen nahe, dass der für inhibitorische Kopplung stabile synchrone Zustand robust ist gegen strukturelle Störungen der Dynamik des Originalmodells.Pulse-coupled oscillators constitute a paradigmatic class of dynamical systems interacting on networks. They model a variety of natural systems including earthquakes, flashing fireflies and chirping crickets as well as pacemaker cells of the heart and neural networks. In this thesis, we consider two main topics which arise in the theory of networks of pulse-coupled oscillators. These are motivated by biological networks of neurons: The first topic is the presence of interaction delays, the second the complexity of the network structure. The thesis is organized as follows. After an introduction to the subject, we briefly present the class of models of pulse-coupled oscillators that is studied throughout this thesis and discuss its advantages for analytical as well as numerical studies. We then analyze networks of oscillators with delayed, global pulse-coupling. Such a network constitutes the first example of a dynamical system that naturally exhibits periodic orbits that are simultaneously attracting and unstable. They are enclosed by basins of attraction of other attractors such that arbitrarily small noise leads to a switching among attractors. For a wide range of parameters, these unstable attractors become prevalent with increasing network size. Next, we consider networks exhibiting a complex structure. We first present an exact stability analysis for synchronous states in networks of arbitrary connectivity. As opposed to conventional stability analysis, here stability is determined by a multitude of linear operators. We treat this multioperator problem exactly and show that for inhibitory coupling the synchronous state is stable, independent of the parameters and the network connectivity. Furthermore, we present the first theoretical demonstration that, in randomly connected networks with strong interactions this synchronous state, displaying regular dynamics, coexists with a balanced state exhibiting irregular dynamics. We suggest simple mechanisms for switching between these qualitatively different states. The question arises whether the stability results are valid for a more general class of models that are obtained from the original by a structural perturbation of the dynamics. Finally, we analyze this question in detail identifying a subclass of models: Within this subclass, all multiple operators are degenerate and we are thus confronted with a standard, one operator stability problem. We present numerical evidence that random matrix theory provides useful estimates to the stability problem of synchronization on random networks. These estimates suggest that the stable synchronous state found for inhibitory coupling is robust against structural perturbations of the original model dynamics