Some approximation schemes in polynomial optimization

Cette thèse est dédiée à l'étude de la hiérarchie moments-sommes-de-carrés, une famille de problèmes de programmation semi-définie en optimisation polynomiale, couramment appelée hiérarchie de Lasserre. Nous examinons différents aspects de ses propriétés et applications. Comme application de la hiérarchie, nous approchons certains objets potentiellement compliqués, comme l'abscisse polynomiale et les plans d'expérience optimaux sur des domaines semi-algébriques. L'application de la hiérarchie de Lasserre produit des approximations par des polynômes de degré fixé et donc de complexité bornée. En ce qui concerne la complexité de la hiérarchie elle-même, nous en construisons une modification pour laquelle un taux de convergence amélioré peut être prouvé. Un concept essentiel de la hiérarchie est l'utilisation des modules quadratiques et de leurs duaux pour appréhender de manière flexible le cône des polynômes positifs et le cône des moments. Nous poursuivons cette idée pour construire des approximations étroites d'ensembles semi-algébriques à l'aide de séparateurs polynomiaux.This thesis is dedicated to investigations of the moment-sums-of-squares hierarchy, a family of semidefinite programming problems in polynomial optimization, commonly called the Lasserre hierarchy. We examine different aspects of its properties and purposes. As applications of the hierarchy, we approximate some potentially complicated objects, namely the polynomial abscissa and optimal designs on semialgebraic domains. Applying the Lasserre hierarchy results in approximations by polynomials of fixed degree and hence bounded complexity. With regard to the complexity of the hierarchy itself, we construct a modification of it for which an improved convergence rate can be proved. An essential concept of the hierarchy is to use quadratic modules and their duals as a tractable characterization of the cone of positive polynomials and the moment cone, respectively. We exploit further this idea to construct tight approximations of semialgebraic sets with polynomial separators