Optimisation Problems in Wireless Sensor Networks : Local Algorithms and Local Graphs

This thesis studies optimisation problems related to modern large-scale distributed systems, such as wireless sensor networks and wireless ad-hoc networks. The concrete tasks that we use as motivating examples are the following: (i) maximising the lifetime of a battery-powered wireless sensor network, (ii) maximising the capacity of a wireless communication network, and (iii) minimising the number of sensors in a surveillance application. A sensor node consumes energy both when it is transmitting or forwarding data, and when it is performing measurements. Hence task (i), lifetime maximisation, can be approached from two different perspectives. First, we can seek for optimal data flows that make the most out of the energy resources available in the network; such optimisation problems are examples of so-called max-min linear programs. Second, we can conserve energy by putting redundant sensors into sleep mode; we arrive at the sleep scheduling problem, in which the objective is to find an optimal schedule that determines when each sensor node is asleep and when it is awake. In a wireless network simultaneous radio transmissions may interfere with each other. Task (ii), capacity maximisation, therefore gives rise to another scheduling problem, the activity scheduling problem, in which the objective is to find a minimum-length conflict-free schedule that satisfies the data transmission requirements of all wireless communication links. Task (iii), minimising the number of sensors, is related to the classical graph problem of finding a minimum dominating set. However, if we are not only interested in detecting an intruder but also locating the intruder, it is not sufficient to solve the dominating set problem; formulations such as minimum-size identifying codes and locating dominating codes are more appropriate. This thesis presents approximation algorithms for each of these optimisation problems, i.e., for max-min linear programs, sleep scheduling, activity scheduling, identifying codes, and locating dominating codes. Two complementary approaches are taken. The main focus is on local algorithms, which are constant-time distributed algorithms. The contributions include local approximation algorithms for max-min linear programs, sleep scheduling, and activity scheduling. In the case of max-min linear programs, tight upper and lower bounds are proved for the best possible approximation ratio that can be achieved by any local algorithm. The second approach is the study of centralised polynomial-time algorithms in local graphs these are geometric graphs whose structure exhibits spatial locality. Among other contributions, it is shown that while identifying codes and locating dominating codes are hard to approximate in general graphs, they admit a polynomial-time approximation scheme in local graphs.Hajautettu järjestelmä koostuu tietoa käsittelevistä laitteista sekä laitteiden välisistä tiedonsiirtoyhteyksistä. Tuttuja esimerkkejä laajoista hajautetuista järjestelmistä ovat Internet ja matkapuhelinverkot. Hajautettuihin järjestelmiin liittyy lukuisia optimointiongelmia: tietoverkon rajallisista resursseista halutaan saada mahdollisimman paljon hyötyä verkon käyttäjille. Tässä väitöskirjatyössä tutkitaan tehokkaita algoritmeja tällaisten optimointiongelmien ratkaisemiseksi. Tässä työssä keskitytään erityisesti yhteen esimerkkiin hajautetuista järjestelmistä: langattomiin anturiverkkoihin. Anturiverkon laitteet ovat tyypillisesti pieniä, paristokäyttöisiä mittalaitteita, joiden tuottamat tiedot halutaan kerätä yhteen paikkaan tallennettavaksi ja analysoitavaksi. Anturiverkkoa voidaan käyttää esimerkiksi säähavaintojen tekemiseen tai teollisuuslaitosten valvontaan. Langattomassa anturiverkossa tietoa välitetään radioyhteyksien avulla. Jos etäisyydet mittalaitteiden ja tiedon tarvitsijan välillä ovat pitkiä, tietoa voidaan joutua välittämään useamman linkkisolmun kautta. Yksi keskeinen paristokäyttöisiin anturiverkkoihin liittyvä optimointiongelma on verkon eliniän maksimointi: halutaan, että verkko on toimintakykyinen mahdollisimman pitkään ennen kuin mittalaitteiden paristot joudutaan lataamaan uudestaan. Koska radiolähetykset kuluttavat paljon energiaa, yksi keskeinen haaste on valita energiankulutuksen kannalta parhaat mahdolliset reitit, joita pitkin tietoa välitetään anturilaitteilta tiedon tarvitsijalle. Jos laitteet voivat käyttää useita eri linkkisolmuja tiedon välittämiseen, ei välttämättä valita linkkisolmuista joka kerta lähintä, vaan pyritään hyödyntämään solmujen kokonaiskapasiteetti mahdollisimman tehokkaasti. Tällaiset reititysongelmat voidaan muotoilla matemaattisesti ns. max-min-lineaariohjelmina. Yksi väitöskirjatyön päätuloksista koskee juuri max-min-lineaariohjelmien ratkaisemista tehokkaasti hajautetussa järjestelmässä. Työssä tarkastellaan erityisesti paikallisia algoritmeja eli vakioaikaisia hajautettuja algoritmeja. Paikallisessa algoritmissa verkon jokainen laite tekee päätöksiä pelkästään laitteen lähiympäristössä olevan tiedon perusteella näinkin rajoitetulla laskennan mallilla on mahdollista löytää ratkaisuita, jotka ovat lähellä globaalia optimia. Tässä työssä esitetään mm. paikallinen algoritmi eräiden max-min-lineaariohjelmien likimääräiseen ratkaisemiseen; työssä myös todistetaan, että tämän paikallisen approksimointialgoritmin takaama approksimointisuhde on paras mahdollinen. Muita tarkasteltavia optimointiongelmia ovat solmujen toiminnan aikatauluttaminen ja solmujen määrän minimointi. Nämä ovat laskennallisesti vaikeita ongelmia yleisessä tapauksessa, mutta työssä osoitetaan, että näiden ongelmien likimääräinen ratkaiseminen onnistuu tehokkaasti, jos hyödynnetään realistisia oletuksia tiedonsiirtoverkon rakenteesta. Tällaisia oletuksia voidaan kuvata esimerkiksi ns. paikallisilla verkoilla