SMS for imaging systems using free-forms

El diseño de sistemas ópticos de formación de imagen goza de una historia larga e ilustre. Desde los primeros magnificadores ópticos del antiguo Egipto, pasando por los telescopios de Galileo y Newton al comienzo de la ciencia moderna, hasta la ubicuidad de la óptica actual, el proceso de diseño óptico se ha considerado tanto un arte como una ciencia. El diseño óptico ha evolucionado desde la teoría de óptica paraxial de la época de Newton hasta los modernos diseños realizados mediante la utilización de diferentes técnicas de optimización multiparamétrica. Aunque los métodos mencionados pueden proporcionar soluciones elegantes para muchos de los problemas tradicionales, la creciente demanda de novedosos sistemas ópticos con superficies no-esféricas y geometrías fuera de eje hace que los problemas de diseño ya no puedan resolverse fácilmente utilizando esos métodos tradicionales. Con el desarrollo acelerado de las nuevas técnicas de fabricación se ha llegado a la omnipresencia de las superficies asféricas en los diseños ópticos actuales. Sin embargo, la creciente complejidad de los problemas ópticos relacionados con la formación de imagen hace que hagan falta incluso más grados de libertad que los que propone la óptica asférica. Esos grados de libertad se pueden lograr, bien incrementando el número de superficies del sistema, lo cual a menudo lleva a una solución voluminosa no apropiada para muchas aplicaciones, o abandonando la simetría de revolución del sistema, lo cual permite la introducción de nuevas formas de superficies sin simetría de revolución, conocidas como superficies anamórficas (“freeform”). Las superficies anamórficas aparecieron por primera vez en los diseños de óptica anidólica (“nonimaging”), donde el objetivo no es la formación de imagen, sino la transferencia eficiente de la luz. Dado que los sistemas anidólicos no son igual de sensibles a errores de fabricación como los de formación de imagen, muchos de los diseños ópticos basados en superficies anamórficas se han convertido en productos comerciales. De esa forma se ha hecho evidente el potencial de este tipo de superficies para proporcionar soluciones altamente compactas. En las técnicas de optimización multiparamétrica, que suponen un elevado número de parámetros libres, el sistema inicial de partida es la clave para encontrar la solución óptima. En sistemas ópticos tradicionales como, por ejemplo, el objetivo de una cámara, existe una literatura inmensa que incluye muchas patentes y catálogos que pueden proporcionar el sistema inicial de partida. Sin embargo, en el caso de nuevos sistemas como los de realidad virtual (o aumentada), conocidos como sistemas HMD (del inglés “head-mounted-display”), no existe mucha literatura que permita proporcionar sistemas de partida. Para tales sistemas, los métodos directos representan una útil herramienta, especialmente en diseños que incluyen un elevado número de parámetros que especifican la superficie. Cuanto más alto sea el número de parámetros, más difícil será encontrar una solución utilizando los métodos basados en la optimización multiparamétrica, por lo que la elección del sistema de partida en esos casos resulta ser clave. El método de Superficies Múltiples Simultaneas (SMS), que nació como una herramienta de cálculo para aplicaciones anidólicas, es un método directo de diseño tanto de superficies asféricas como anamórficas. Recientemente se ha demostrado además como una herramienta para el diseño de sistemas ópticos de formación de imagen, y puede utilizarse para generar los sistemas de partida necesarios para la optimización multiparamétrica. Esta tesis doctoral investiga nuevas estrategias de diseño de sistemas de superficies noesféricas. Consta de 2 partes y 7 capítulos. Los conceptos básicos de la óptica geométrica se introducen concisamente en el primer capítulo. Los capítulos 3-7 se agrupan en 2 partes: la óptica asférica (capítulos 3 y 4) y la óptica anamórfica (capítulos 5-7). El capítulo 2 está relacionado con ambas partes de la tesis, ya que proporciona una nueva percepción del método SMS en general. En el capítulo 2 se presenta un nuevo desarrollo del método SMS que cambia la forma en la que el método ha sido considerado hasta ahora. Se demuestra que para ciertos casos específicos de diseño con la apertura alejada de las superficies se pueden crear imágenes estigmáticas de múltiples puntos de objeto utilizando un menor número de superficies. Avanzando paso a paso desde las bases del método, pasamos a la formación de imagen de dos puntos objeto a través de una única superficie. Posteriormente, aumentando de dos a tres puntos objeto incrementando el paralelismo, llegamos a un diseño de seis superficies cumpliendo una formación de imagen estigmática para ocho puntos objeto. Se presenta un criterio aproximado que proporciona una estimación del número de puntos objeto que se pueden enfocar en el plano imagen (estigmáticamente), que utiliza para ello el tamaño de la apertura del sistema y de las superficies. En el proceso de maximización de ese número se intentan agotar los grados de libertad de las superficies asféricas y anamórficas. Al final se deduce que los diseños SMS con los grados de libertad agotados están muy cerca de la solución óptima, por tanto usarlos como puntos de partida para la optimización resultaría en una convergencia rápida hacia el sistema óptimo. El capítulo 3 presenta un estudio del método SMS2D como el punto de partida para un problema de diseño de dos lentes asféricas. Se analizan dos ejemplos de diseño en los cuales se compara el método SMS (con la optimización posterior) y las técnicas tradicionales, tanto como la optimización global. Los métodos de diseño tradicionales utilizan un punto de partida esférico con la optimización de un paso único, de dos pasos y el método paso-a-paso, conocido como “stepwise”, mientras el sistema SMS se optimiza con un único paso. Se demuestra que, dado que el método SMS aporta un punto de partida superior, la optimización con un único paso resulta ser suficiente para llegar a un diseño óptimo. El capítulo 4 introduce un concepto novedoso en el diseño de óptica de formación de imagen conocido como “foveated imaging”. Foveated imaging o formación de imagen adaptada es un método que emula el comportamiento del ojo humano mediante la generación de imágenes con resolución espacial variable. La primera parte de este capítulo investiga la posibilidad de utilizar el método SMS con discretización en pupila para diseñar sistemas ópticos adaptados. Utilizando la discretización en pupila el problema no está limitado por el número de puntos objeto necesarios para conseguir el mapeo deseado. Partiendo de un sistema de objetivo de microscopio ya existente, la parte asférica del sistema se ha rediseñado utilizando el método mencionado. Se optimizan y analizan los diversos conjuntos de superficies obtenidos para evaluar el nivel de complejidad de las superficies asféricas comparado con las superficies del diseño inicial. El mismo enfoque se aplica también a un diseño HMD, donde se diseñan cuatro superficies asféricas para cumplir con el requisito de adaptación (foveation). Aparte de la adaptación, este diseño tiene en cuenta las rotaciones del ojo, un enfoque comúnmente utilizado en el diseño de lentes oftálmicas. Combinando estos dos métodos, se diseña una lente HMD adaptada a la resolución del ojo humano. Adicionalmente, se presenta un análisis de tolerancias para este sistema, así como las medidas experimentales de la resolución del prototipo fabricado. El capítulo 5 investiga un sistema afocal de dos espejos anamórficos utilizando óptica de primer orden. Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden resultantes tienen una solución analítica, imponiendo la única condición de que los ejes x-y e x’-y’ son paralelos. Se presentan cuatro soluciones seleccionadas. Dos de ellas son semi-aplanáticas (cumpliendo la condición de aplanatismo sólo para la coordenada x), mientras que las otras dos son, de acuerdo a nuestro conocimiento, los primeros ejemplos de sistemas aplanáticos (full aplanat) que constan de dos espejos anamórficos. El problema presentado también puede considerarse como un caso límite de un problema SMS, como se comenta en el texto. Adicionalmente se han investigado geometrías de sistema alternativas. Sin embargo, en estos casos las ecuaciones de mapeo rayo-a-rayo no están necesariamente desacopladas, como en el primer caso discutido. Otra contribución al método SMS se encuentra en el capítulo 6. Se presenta un algoritmo para diseñar 3 superficies anamórficas plano-simétricas utilizando el método SMS3D. Se presenta también un ejemplo de un sistema de este tipo, que forma imagen estigmática para los campos de diseño. Por otro lado se demuestra que en el caso límite en el que los tres frentes de onda de diseño coinciden, el ejemplo presentado es efectivamente un sistema semiaplanático, donde se cumple el aplanatismo hasta el segundo orden en sólo una dirección. El capítulo 7 compara diferentes polinomios ortogonales como representaciones de las superficies anamórficas en el caso de sistemas ópticos con aperturas rectangulares. Los diseños SMS3D que están destinados a aplicaciones de formación de imagen necesitan ser optimizados para el campo entero. Para ello es necesario elegir una representación de las superficies apropiada. Estudios recientes demuestran que la mejor representación en el caso de los sistemas con aperturas circulares es la introducida por Forbes, y conocida como Q-polinomios. Sin embargo, las superficies anamórficas se usan a menudo en sistemas ópticos con aperturas no circulares (sistemas de alta relación de aspecto, sistemas de pantallas digitales). Se proporciona un análisis comparativo realizado en 2 sistemas de espejos. Se comparan 4 representaciones diferentes, incluyendo polinomios con diferentes áreas de ortogonalización (rectangulares y circulares) y diferentes métricas (ortogonalidad en el sag y en el gradiente). En los ejemplos considerados, los polinomios ortogonales dentro de un rectángulo convergen más rápidamente o hacia un mejor mínimo en comparación con los polinomios ortogonales dentro de un circulo. Esto es, lo más probable, debido a la pérdida de las buenas propiedades de la ortogonalidad cuando el área de ortogonalidad no coincide con la forma de la apertura de la superficie utilizada. ABSTRACT The design of imaging optical systems has a long and illustrious history. From the first magnifiers in the ancient Egypt, to the telescopes of Galileo and Newton at the commencement of modern science, to the omnipresence of modern optics, the process of optical design was considered both an art and a science. Optical design has evolved from paraxial imaging theory in Newton’s age to modern computer-based multi-parametric optimization techniques. Although these methods can provide elegant solutions to many traditional design problems, the increasing demand for novel optical systems with non-spherical surfaces and off-axis geometry take the design problems to the level where they are no longer easily solved with these traditional methods. Rapid development of the manufacturing techniques led to the ubiquity of aspheric surface shapes in modern optical designs. However, with the increasing complexity of imaging design problems, even more degrees of freedom are needed. They can be achieved either by increasing the number of surfaces in the system, which often leads to a bulky solution not appropriate for many applications, or by abandoning traditional rotational symmetry of the system, which allows for new non-rotationally symmetric surface shapes, known as freeforms. Freeform surfaces were first used in non-imaging design problems, where the aim is not to form an image, but to maximize the energy transfer efficiency. Since non-imaging systems are not as sensitive to the manufacturing errors as the imaging ones, many freeform optical systems became commercial products. The potential of these surfaces in providing highly compact solutions thus became clear. In multi-parametric optimization techniques with the large number of free parameters, starting system proves to be the key in finding the optimal solution. In traditional optical systems, such as for instance camera objectives, many starting systems are available in patent literature. However, in the case of new optical systems, such as head mounted display systems, no such literature exists. For such systems direct design methods present a useful tool, especially in designs with elevated number of surface parameters. The higher the number of parameters, the more difficult it is to find a solution using traditional multi parameter optimization techniques, and the choice of the starting point plays the key role. The Simultaneous Multiple Surface (SMS) design method, initially developed for non-imaging applications, presents a direct method for designing both aspheric and freeform optical surfaces and can be used to generate starting points for multi-parametric optimization. This thesis explores new design strategies for non-spherical imaging optical systems. It comprises of 2 parts and 7 chapters. The basic concepts in geometrical optics are shortly introduced in the first chapter. Chapters 3-7 are grouped into two parts: the aspheric optics (chapters 3 and 4) and the freeform optics (chapters 5-7). Chapter 2 is related to both parts of the thesis, since it gives a new insight to the SMS method in general. In Chapter 2 we present new development of the SMS method which changes the way the method is regarded. We show that for specific design cases where the aperture stop is placed further away from the surfaces, multiple object points can be sharply imaged using lesser number of surfaces. Moving step-by-step from the basics of the method, to imaging two object points through one surface and transitioning from two to three object points by increasing the parallelism, we get to the designs of six surfaces imaging up to eight object points. A rule of thumb which estimates the number of object points that can be sharply imaged given the size of the aperture and the surface is presented. In the process of maximizing the object points to sharply image, we try to exhaust the degrees of freedom of aspherics and freeforms. We conjecture that the SMS designs with exhausted degrees of freedom are very close to a good solution; hence, using them as a starting point for the optimization will lead us faster to the optimal optical system. Chapter 3 presents a study of the SMS2D method as a starting point for a two-lens design problem. We investigate two design examples and compare them with similar designs obtained via traditional design approaches, as well as global optimization. Traditional design approaches use a spherical starting point with a single-step, a two-step and a stepwise optimization, while SMS starting point is optimized using only a single-step optimization. It is shown that, since SMS method gives a better starting point, a single-step optimization is sufficient to get to the optimal design. Chapter 4 introduces a novel concept in imaging optical design known as foveated imaging. Foveated imaging is a method in which the optical systems mimic the behaviour of the human eye in some cases, or use that behaviour to adapt the optics performance to it, by generating images with varying resolution. The first part of this chapter explores the possibility of using the SMS method with pupil discretization to design foveated optical systems. Using pupil discretization we are not limited by the number of object points needed to achieve foveation. Starting from an existing microscope objective lens, the aspheric part of the system is redesigned using the method. Several obtained sets of surfaces are then optimized and analysed to assess their asphericity compared with the initial surfaces in the design. One of the obtained sets shows better characteristics than the starting one. The foveated imaging approach is then applied to a virtual reality head mounted display (HMD) lens design, where 4 aspheric surfaces are designed to satisfy the foveation requirement. Apart from foveation, this design adopts an eye-rotation approach commonly used in spectacle lens design. An HMD lens adapted to the human eye resolution is designed combining these two techniques. The tolerance analysis for this system is also presented, as well as the experimental resolution measurements of the manufactured prototype. Chapter 5 investigates an afocal two freeform mirror design problem in first order optics. The resulting first-order partial differential equations for the freeform two mirror system have an analytic solution with the sole condition that the x-y and x’-y’ axes are parallel. Four selected solutions are presented. Two of them are semi-aplanatic (fulfilling the aplanatic condition only for the x-coordinates), while the other two are, to our knowledge, the first examples of aplanatic two-mirror systems without rotational symmetry. Presented problem can also be seen as a limit case of an SMS design problem, as discussed in the text. Alternative system geometries have been investigated as well. However, in these cases ray-to-ray mapping equations are not necessarily decoupled. Another contribution to the SMS method is given in chapter 6. An algorithm for designing 3 plane-symmetric freeform surfaces with the SMS3D method is presented. An example of such a system, fulfilling stigmatic imaging at the design points is given as well. Moreover, it is demonstrated that at the limit in which the three design wavefronts coincide, the design example presented is a semi-aplanatic system, where the aplanatism up to the second order is obtained only in one direction. Chapter 7 compares different orthogonal polynomial surface representations for optical systems with rectangular apertures. SMS3D designs that are intended to be used in imaging systems need to be optimized for the whole field. For that purpose a convenient representation has to be chosen. Recent studies prove that for the case of circular apertures, the best surface representation from the manufacturability estimates and optimization convergence point of view is Forbes Q-polynomial representation. However, freeform optical surfaces are often used in optical systems with non-circular apertures. Several applications of freeform optics (highaspect ratio systems, systems with digital displays) call for deeper analysis of systems with rectangular apertures. Two reflective systems with rectangular apertures are studied and compared using 4 different surface representations. We compare polynomials with different orthogonal areas (rectangular and circular) and different metrics (sag and gradient orthogonality). Polynomials orthogonal inside a rectangle converge faster or to a better local minimum than the ones orthogonal inside a circle in the examples considered. This is most likely due to the loss of the good properties of orthogonality when the orthogonality area does not coincide with the surface area used