Sobre álgebras de Hilbert

Hilbert (1923) ha sido el primero en observar que un cierto conjunto de fórmulas del cálculo preposicional clásico, en las que sólo figura el conectivo de implicación, tomadas como axiomas, permitiría desarrollar un fragmento interesante del cálculo proposicional. Ese fragmento es conocido con el nombre de cálculo proposicional implicativo positivo y su estudio se inicia en el primer volumen de los "Grundlagen der Mathematik" de Hilbert y Bernays (1934). Este sistema de la lógica puede ser estudiado con métodos específicamente algebraicos, desde que diSponemos de su contraparte algébrica: la noción de modelo implicativo dada por Henkin (1950). Siguiendo a A.Monteiro llamamos aquí álgebras de Hilbert a las álgebras duales de los modelos implicativos. El objeto de este trabajo es dar solución a un problema relativo a las álgebras de Hilbert libres, planteado por Skolem (1952), el cual consiste en saber si las álgebras de Hilbert libres con número finito de generadores libres son finitas. A esta cuestión damos una respuesta afirmativa e indicamos además, un procedimiento recursivo para la construcción de todas las álgebras libres con número finito de generadores libres, aplicándolo a los únicos casos donde es posible, sin ayuda de máquinas, dar la construcción explícita: el álgebra trivial de un generador libre, la de dos generadores libres -ya calculada por Skolem-y la de tres generadores libres. La idea clave de este procedimiento de construcción se debe a A. Monteiro, quien lo ha aplicado a la determinación de las álgebras de Heyting lineales libres con número finito de generadores libres (1960). En la parte III exponemos el resultado mencionado y damos matrices características para los cálculos implicativos positivos con número finito de variables proposicionales. En la parte I exponemos, sin pretensión de originalidad, algunas nociones y resultados que se necesitan para la comprensión del resto. Indicamos, dando respuesta a un problema que nos planteara A. Monteiro, una definición ecuacional de las álgebras de Hilbert. Una presentación de la teoría de las álgebras de Hilbert a partir de una definición por identidades tiene interés en algunos aspectos, en particular por el hecho de ser inmediatamente aplicables teoremas del álgebra universal válidos para las álgebras ecuacionalmente definibles, por ejemplo el que prueba la existencia de álgebras libres. En la parte I, indicamos como ejemplo de álgebras de Hilbert a los conjuntos ordenados con último elemento, no sabemos si ésto ha sido observado antes. En la parte II damos una caracterización útil de los sistemas deductivos irreductibles y se prueba la existencia de irreductibles minimales, lo que tiene gran interés para el estudio del mencionado problema de Skolem. Los dos teoremas de representación que damos en 3 y 4, parte II, no son necesarios en la parte III. Uno de estos teoremas es de representación topológica "tipo Stone". Contrariamente a lo que sucede para las álgebras de Heyting, no se puede afirmar la casi-compacidad del espacio topológico de representación