Minkowski dimension, self-similarity and applications

En este trabajo abordamos el estudio de algunos tópicos de Geometría Hactal y se presenta en dos partes. Comenzamos con un análisis de aspectos teóricos y prácticos de la dimensión de Hausdorff y de la dimensión de Minskowski, dado que la dimensión es un parámetro esencial para estudiar conjuntos fractales. Usando integración de medidas unidimensionales, se encuentra un método alternativo para el cálculo de la dimensión de Minkowski para cualquier conjunto acotado del plano. Este abordaje es computacionalmente más eficiente que el cálculo directo de la dimensión de Minkowski (see [NVdW94], [Tri95]). De los conjuntos en general ponemos especial interés en las curvas. Las curvas, y especialmente las “curvas fractales”, son importantes pues modelizan una amplia clase de fenómenos naturales tales como costas geográficas, señales de sonido, etc. El caso de curvas planas ha sido tratado por Tricot (ver [Tri95]) quien desarrolló un análisis de las mismas basado en parámetros geométricos asociados a conjuntos convexos. La idea es aproximar el engordado de una curva por cápsulas convexas de subarcos y, usando el diámetro y la anchura de dichas cápsulas, obtener una fórmula más simple y eficiente para el cálculo de la dimensión de Minkowski. En este trabajo se realiza un análisis geométrico para. las curvas tridimensionales y se introduce un nuevo parámetro: la anchura secundaria. Se define la clase de curvas expansivas para el caso tridimensional y se encuentra para ellas una fórmula alternativa para calcular dimensión de Minkowski. Finalmente mostramos cómo este abordaje generaliza el desarrollado por Tricot para curvas planas y analizamos las dificultades que aparecen al aumentar la dimensionalidad del espacio de base. En la Segunda Parte presentamos los fundamentos matemáticos de la Compresión Fractal de imágenes. Se revisan los principales modelos matemáticos de compresión fractal que tienen estrecha relación con nuestro trabajo y se explican diferentes modelos para el problema de compresión de imágenes. Estos modelos dependen esencialmente del espacio de representación de las imágenes con niveles de gris: pueden usar medidas o funciones definidas sobre puntos. En particular se analiza el modelo de Codificación por Bloques de J acquin (ver [Jac89]) y el modelo IFZS (ver [CFMV92]) como ejemplos de uno y otro caso. Se estudia el esquema funcional de Autosimilaridad Generalizada [CM99] como modelo teórico para resolver el problema inverso para fractales y otros conjuntos. La idea en este caso es la siguiente: dada una función, que representa una imagen o una señal, se quieren encontrar dos conjuntos finitos de funciones {ωi} 1«i«m y {φi} 1«i«m, y un operador contractivo que los involucra, tal que el punto fijo de ese operador sea una función cercana a la dada. Se presenta un modelo que combina elementos de la Autosimilaridad Generalizada con la codificación por bloques. El mismo permite mayor flexibilidad en la estructura autosimilar de la compresión fractal estandard, un mejor aprovechamiento de la redundacia de la imagen, una completa automatización del algoritmo y control del error de aproximación entre la imagen original y la reconstruida. Por último se muestra la relación entre los modelos funcionales IFZS y de Autosimilaridad Generalizada que están definidos sobre espacios funcionales esencialmente distintos