Isogeometrische Analyse von Schalen

This work is concerned with the isogeometric analysis of shells. A new hierarchic family of NURBS-based shell finite elements is developed. Besides a shear-rigid 3-parameter shell element formulation with Kirchhoff-Love kinematics, both a shear flexible 5-parameter Reissner-Mindlin-type and a 7-parameter 3D shell element which accounts for thickness change are derived. Compared to existing isogeometric shell elements the hierarchy showing up in the shell mechanics is transferred to the parameterization of the kinematic shell equations by gradually enhancing the minimalistic 3-parameter shell model with additional degrees of freedom in order to systematically increase the approximation quality of the shell formulation. This represents the key innovation of this thesis with significant benefits both with regard to finite element technology and model adaptivity. The continuity requirements on the displacement functions for the proposed hierarchic shell models are C1, which can be naturally satisfied with the applied higher-continuity NURBS discretizations. All shell models of the hierarchy utilize a pure displacement ansatz. Due to the concept of a hierarchic parameterization both transverse shear locking and curvature thickness locking are avoided by default for the Reissner-Mindlin-type and the 3D shell formulations. In order to remove membrane locking two new strategies for higher-order and higher-continuity discretizations – a NURBS-based Discrete Strain Gap method and a mixed displacement-stress formulation – are developed and applied to the in-plane part of the isogeometric shell finite elements, which ultimately lead to isogeometric shell element formulations that are completely free from geometric locking.Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer hierarchischen Familie von Schalenmodellen und deren Diskretisierung basierend auf NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) Funktionen für die numerische Analyse von Schalenstrukturen. Als mechanisches Basismodell wird eine mittelflächenparametrisierte 3-Parameter-Formulierung mit Kirchhoff-Lovescher Schalenkinematik verwendet. Für das in dieser Arbeit entwickelte Schalenmodell mit Reissner-Mindlin-Kinematik, werden die Annahmen der Kirchhoff-Loveschen Schalenkinematik durch Einführen zusätzlicher, von den Verschiebungsableitungen unabhängigen Parametern erweitert. Für die Berücksichtigung der Dickenänderung der Schale wird in dieser Arbeit zudem ein 7-Parameter-Schalenmodell entwickelt, welches einer Erweiterung des Reissner-Mindlin-Modells mit fünf Parametern entspricht. Die wesentliche Neuerung und Innovation in dieser Arbeit ist die hierarchische Parametrisierung der Familie von 3-, 5- und 7-Parameter-Schalenmodellen, welche signifikante Vorteile im Hinblick auf Modelladaptivität und Elementtechnologie mit sich bringt. Mit Blick auf das diskretisierte Modell führt die hierarchische Parametrisierung dazu, dass Reissner-Mindlin-Schalenelemente bereits bei einer reinen Verschiebungsformulierung durch die Entkopplung von Biege- und Schubdeformationen kein Querschublocking aufweisen. Die hierarchische 7-Parameter-Formulierung stellt eine Erweiterung der hierarchischen 5-Parameter-Variante dar, bei der bei einer reinen Verschiebungsformulierung neben Querschublocking auch Krümmungs-Dicken-Locking automatisch vermieden wird. Alle hierarchischen Varianten müssen die Anforderungen der schubstarren Kirchhoff-Love-Schale erfüllen, welches das Basismodell der hierarchischen Formulierungen ist. Ansatzfunktionen mit C1-Kontinuität lassen sich mit den in dieser Arbeit verwendeten höher-kontinuierlichen NURBS Funktionen definieren. Zur Vermeidung von Membranlocking werden zudem zwei neue Methoden - eine NURBS basierte Discrete-Strain-Gap Methode und ein gemischte Spannungs-Verschiebungs Formulierung entwickelt- welche zu isogeometrischen Finite-Elemente Formulierungen führen, die komplett frei von geometrischen Lockingeffekten sind