Uso dell'algebra Max-Plus nella costruzione di portafogli di copertura ottimali

In questa tesi, ci occupiamo di risolvere una classe di problemi di Finanza matematica nei quali è necessario avere un portafoglio che abbia sempre valore maggiore di una barriera data dal mercato, detta ostacolo. È questo il caso di un portafoglio di copertura di un'opzione americana, dell'assicurazione di portafogli o in generale di situazioni in cui il mercato imponga vincoli, per esempio di tipo legale. L'investitore deve essere in grado, in ogni istante, di corrispondere a chi ha acquistato l'opzione o a chi ha assicurato il portafoglio il suo valore attuale, o in generale di non infrangere alcuna regola. Se il portafoglio avesse un valore troppo basso, sarebbe necessario aggiungere capitale; per tutelarsi da questa evenienza, è quindi opportuno seguire una strategia che permetta di avere un portafoglio con valore sempre sufficientemente grande. Inoltre, una volta soddisfatto questo vincolo, è auspicabile cercare la strategia ottimale, che permetta cioè di ottenere il maggior guadagno possibile. Supporremo che il mercato sia completo e senza opportunità di arbitraggio.\par Dal punto di vista matematico, si modellizza un mercato come un processo stocastico a valori in $R^ extrm{d}$, che rappresenta il modo in cui i prezzi siano soggetti a variabilità. Di conseguenza, anche l'opzione da coprire, o in generale l'ostacolo, è rappresentato da un processo stocastico. Le ipotesi fatte sulla natura del mercato ci consentiranno, a meno di cambiare misura di probabilità, di ricondurci a una situazione in cui tutti i portafogli autofinanziati sono delle martingale. par Per rappresentare la condizione di ottimalità, bisogna considerare che ogni investitore ha una disponibilità diversa ad assumersi dei rischi con la prospettiva di un guadagno, che varia con l'ammontare del capitale investito: esiste cioè una funzione che associa al valore del portafoglio un'utilità per l'investitore. Trovare il portafoglio ottimale significa allora in termini matematici trovare la martingala tale che se la si compone con la funzione di utilità si ottiene un processo con speranza massima. Il problema consta dunque di due parti: egin{enumerate} item [1)] definire l'insieme $mathcal{M}$ delle martingale che dominano un processo dato (l'ostacolo); item [2)] trovare la martingala ottimale (rispetto alla funzione di utilità) di questo insieme. end{enumerate} par La prima parte viene fatta utilizzando la teoria degli inviluppi di Snell. par La seconda parte invece viene risolta utilizzando al posto dei numeri reali l'algebra Max-Plus $R_{max}$, cioè $Rcup{-infty}$ dotato delle operazioni $max$ e $+$. In questo semicampo, sarà costruita una decomposizione per supermartingale simile a quella di Doob-Meyer, effettuata però rispetto all'operazione $max$: $$M^{MP}_tgeqmax(Z_t,A_t) ,$$ per una data supermartingala $Z$ e con un opportuno processo opzionale $A$. Applicheremo questa decomposizione all'inviluppo di Snell dell'ostacolo, ottenendo così il portafoglio candidato a essere ottimale.par Per dimostrare che si tratta effettivamente della scelta migliore, faremo vedere come da ipotesi naturali sulla funzione di utilità si ottenga che essa è concava. Utilizzeremo quindi l'ordine stocastico concavo $leq_{cv}$, che ordina un insieme di variabili aleatorie ${X_i}_{iinLambda}$ nel senso che $$X_ileq_{cv}X_jquad extrm{se}quadforall f:R ightarrowR extrm { concava}quadE[f(X_i)]leqE[f(X_j)] ,$$ se $E[f(X_i)]$ è definito, e dimostreremo che la martingala $M^{MP}$ è la martingala più grande rispetto a questo ordine.par Nella parte finale, ci occuperemo di mostrare come sia possibile con questo metodo svolgere calcoli completi per ricavare esplicitamente la strategia ottimale. Questo nostro metodo ha il vantaggio di poter essere applicato fino al risultato esplicito anche con ipotesi sulla funzione di utilità quasi inesistenti: questo significa poterlo applicare a quasi tutte le preferenze di investimento pur senza conoscerle in dettaglio. Osserviamo infatti che la funzione di utilità personale, in quanto caratterizzante le scelte di un investitore, spesso non viene dettagliatamente esplicitata