Aspetti dinamici dei principali modelli di membrana eccitabile: il neurone matematico

In questa tesi è presentata una breve indagine della dinamica dei principali modelli di neurone. Le descrizioni più complete e realistiche del comportamento del neurone sono basate sull'analisi dettagliata delle misurazioni del voltaggio e della dipendenza dal tempo delle correnti che ne attraversano la membrana. Il modello più famoso di questa tipologia è l'analisi di Hodgkin e Huxley delle proprietà dell'assone gigante del calamaro. Com'è facile intuire, il problema coinvolge equazioni differenziali nonlineari. Inoltre la stimolazione periodica dei neuroni genera una molteplicità di ritmi che possono essere modellizzati attraverso rappresentazioni matematiche a diversi livelli di complessità: modelli Integrate-and-Fire, equazioni di FitzHugh-Nagumo, modelli binari. Nello studiarli si è scelto di dare rilevanza ai metodi della media coi loro teoremi fondamentali, così come al phase-locking e alla localizzazione delle biforcazioni. Conseguentemente, si è dato spazio all'analisi della stabilità strutturale, delle biforcazioni di Hopf e alla costruzione delle lingue di Arnold. Nello stesso tempo è presentata una approssimazione numerica della curva Quasi-Threshold-Phenomenon presente nel piano delle fasi delle equazioni di FitzHugh-Nagumo, realizzata adattando l'idea che soggiace alla definizione e al successivo studio di soluzioni formali canards di problemi con perturbazioni singolari. Si è dimostrato il carattere 1-Gevrey della curva QTP seguendo tecniche di maggiorazione diretta sviluppate da M. Canalis-Durand