Numerical Schemes for Equations of Viscous Compressible Flows: Analysis and Geometry

Tato disertační práce obsahuje komentovaný soubor vědeckých článků s výsledky v oblasti analýzy numerických schémat pro modely vazkých stlačitelných tekutin. Tyto jsou založeny především na průkopnickém výsledku Karpera, který dokázal konvergenci numerických řešení ke slabému řešení stlačitelných Navierových- Stokesových rovnic, jež popisují dynamiku tekutiny v takzvaném barotropním režimu. Tyto vědecké články jsou rozděleny do dvou skupin, první z nich obsahuje výsledky z numerické analýzy, ta druhá potom výsledky z oblasti geometrie sítí, na nichž jsou metody de finovány. První z těchto výsledků obsahuje návrh nové numerické metody pro barotropní tekutinu založenou na konečných diferencích a hlavní část jejího konvergenčního důkazu. Další dokazuje konvergenci zobecněné varianty Karperovy metody pro úplný systém, který zahrnuje i bilanci teploty. V posledním článku jsou odvozeny chybové odhady pro původní Karperovu metodu. Výše zmíněné numerické metody mají speciální požadavky na geometrické vlastnosti využitých sítí. Druhá skupina výsledků obsahuje dva články týkající se existence právě takových tříd sítí, které splňují požadované vlastnosti. Tyto výsledky jsou doplněny článkem na téma simplexových sítí v obecné dimenzi. Motivací pro tento výsledek je společný jmenovatel dvou předchozích, a sice konstrukce publikovaná Sommervillem v roce 1923.NeobhájenoThe dissertation thesis presents a commented collection of research articles with results in the analysis of numerical schemes for systems that model viscous compressible fluids. They are mainly based on a pioneering work of Karper, who proved a convergence of a numerical scheme to weak solutions of the compressible Navier-Stokes system, which represents a flow of a fluid in the so called isentropic regime. These research articles are split into two groups, first of them being results in the numerical analysis, the other one dealing with the underlying geometry. First of the results contains a design of a new fi nite-difference numerical scheme for the isentropic flow and a major part of its convergence proof. The next one proves convergence of a generalization of a variant of Karper's method for the complete system including the balance of the temperature. In the last article the error estimates for the original Karper's method are shown. The above mentioned numerical methods have particular geometrical requirements on the underlying meshes. The second group of results contains two articles on existence of such families of meshes satisfying required assumptions. These results are accompanied by an article on simplicial meshes for a general dimension. Its motivation comes from a common denominator of the two previous results, which is a construction introduced by Sommerville in 1923