Kokonaislukujen rengas

Tässä tutkielmassa esitellään miten kokonaisluvut rakennetaan systemaattisesti joukko-opin avulla luonnollisten lukujen erotuksina muodostuvista ekvivalenssiluokista. Työssä käsiteltävät asiat kuuluvat algebran alueeseen ja erityisesti abstraktiin algebraan, jossa käsitellään erilaisia aksiomein rakennettuja systeemejä. Abstrahoimalla käsitteitä ne saadaan paremmin matematiikan palvelukseen ja yleisen teorian avulla voidaan tarkastella erikoistapauksia. Aksiomaattinen menetelmä vapauttaa pelkältä intuitioon perustuvalta todistamiselta ja soveltaa teoreemojen johtamiseen logiikan sääntöihin perustuvaa päättelyä. Työn alussa kerrataan tarvittavia joukko-opin ja algebran käsitteitä mukaan lukien relaatiot, kuvaukset ja algebralliset struktuurit, kuten ryhmä ja rengas. Siitä siirrytään rakentamaan luonnollisten lukujen joukkoa määrittelemällä sopiva ekvivalenssirelaatio. Tämä tekee jokaisesta luonnollisesta luvusta ekvivalenssiluokan, jonka jäsenet ovat keskenään yhtä mahtavia äärellisiä joukkoja, joille määritellään yhteen- ja kertolasku, sekä järjestys. Seuraavaksi laajennetaan luonnollisten lukujen joukkoa yhdistämällä siihen negatiiviset luvut. Kokonaislukujen rakentamisessa on taustalla intuitiivinen ajatus siitä, että kokonaisluku on kahden luonnollisen luvun erotus. Kuitenkin sama negatiivinen luku voidaan esittää monella eri tavalla, jolloin kaikki samaa lukua esittävät erotukset yhdistetään edustamaan samaa ekvivalenssiluokkaa. Luonnollisten lukujen joukko upotetaan kokonaislukujen joukkoon ja varustetaan yhteen ja kertolaskulla, jolloin tuloksena on struktuuri, jota kutsutaan kokonaislukujen renkaaksi. Tutkielman lopulla tarkastellaan, miten lapset tutustuvat ensimmäisen kerran negatiivisiin kokonaislukuihin alakoulun neljännellä luokalla kirjasarjassa Tuhattaituri