Geometrian kaksi suurta konstruktio-ongelmaa ja niiden ratkaisut

Tässä tutkielmassa käsitellään kuution kahdentaminen ja kulman kolmijako, jotka ovat geometrian konstruktio-ongelmia. Kuution kahdentamisessa tulee muodostaa kuutio, jonka tilavuus on kaksinkertainen annettuun kuutioon verrattuna. Kulman kolmijaossa tulee mielivaltainen kulma jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Molemmat ongelmat ovat osoittautuneet mahdottomiksi harpin ja viivaimen avulla. Jos kuitenkin sallitaan käyttää muita matemaattisesti tarkkoja välineitä ongelmat saadaan ratkaistua. Kuution kahdentamisen ja kulman kolmijaon tutkimisessa lähdetään liikkeelle geometrisen konstruoinnin sääntöjen määrittelemisestä. Toisessa luvussa käydään läpi yksityiskohtaisesti perustuloksia harpin ja viivaimen käytöstä. Näiden tulosten avulla määritellään peruskonstruktiot ja luvun konstruoituvuus. Koska tutkittavien ongelmien mahdottomuuden osoittaminen vaatii algebran kuntateorian tuloksia, määritellään kolmannessa luvussa geometrisen konstruktion tuloksia algebran näkökulmasta. Näiden avulla saadaan määriteltyä välttämätön ja riittävä ehto luvun konstruoitumiselle. Neljäs luku käsittelee työn oleellisimmat tulokset eli todistukset kuution kahdentamisen ja kulman kolmijaon mahdottomuuteen. Ennen todistuksia käydään läpi tärkeimmät kohdat historiasta antiikin Kreikan ajalta 1800–luvulle, jolloin ongelmat saatiin osoitettua mahdottomiksi. Lisäksi historiaosuudessa käsitellään seuraavassa luvussa esiteltävien laajennettujen konstruktioiden historiaa. Kuution kahdentamisen mahdottomuuden todistuksessa osoitetaan, ettei lukua kuutiojuuri 2 voida konstruoida. Mielivaltaisen kulman kolmijaon mahdottomuuden osoittamiseksi riittää löytää yksi kulma, jota ei voida kolmijakaa. Tässä tapauksessa tutkimme 60° kulmaa, jolloin konstruoituvaksi luvuksi muodostuu cos(20°). Viimeinen luku käsittelee laajennettuja konstruktioita, joissa sallitaan perinteisten harpin ja viivaimen lisäksi muiden välineiden ja menetelmien käyttö. Luvussa esitellään useita konstruktioita, joissa käydään läpi niiden käyttö konstruktio-ongelmissa ja todistukset niiden toimivuudesta. Luultavasti kaikkein klassisin menetelmä on neusis-konstruktio, jossa viivaimeen voidaan tehdä merkintöjä. Muut esiteltävät konstruktiot ovat merkittäviä niiden historian tai konstruktioiden yksinkertaisuuden takia