Dynamical mean-field theory approach for ultracold atomic gases

In this thesis we have studied the physics of different ultracold Bose-Fermi mixtures in optical lattices, as well as spin 1=2 fermions in a harmonic trap. To study these systems we generalized dynamical mean-field theory for a mixture of fermions and bosons, as well as for an inhomogeneous environment. Generalized dynamical mean-field theory (GDMFT) is a method that describes a mixture of fermions and bosons. This method consists of Gutzwiller mean-field for the bosons, and dynamical mean-field theory for the fermions, which are coupled on-site by the Bose-Fermi density-density interaction and possibly a Feshbach term which converts a pair of up and down fermions into a molecule, i.e. a boson. We derived the self-consistency equations and showed that this method is well-controlled in the limit of high lattice coordination number z. We develop real-space dynamical mean-field theory for studying systems in an inhomogeneous environment, e.g. in a harmonic trap. The crucial difference compared to standard DMFT is that we are taking into account that different sites are not equivalent to each other and thus take into account the inhomogeneity of the system. Different sites are coupled by the real-space Dyson equation. ...Durch eindrucksvollen experimentellen Fortschritt innerhalb der letzten Dekade rückte das Gebiet der ultrakalten Atome in den Blickpunkt der Erforschung stark korrelierter Vielteilchensysteme. Die Fähigkeit Atome in optische Gitter, die durch stehende Wellen aus Laserlicht erzeugt werden, zu laden und darin zu manipulieren, macht es möglich, verschiedene Modell-Hamiltonoperatoren der Festkörperphysik zu realisieren. Dadurch können neue Einblicke in bekanntermaßen schwierigen Probleme [1–3] gewonnen werden. Darüberhinaus können Systeme realisiert werden, die keine Analoga in der Festkörperphysik besitzen. Im Besonderen können innerhalb des Gebietes der ultrakalten Atome Mischungen aus Bosonen und Fermionen erzeugt werden [4–19]. Diese Mischungen stellen physikalisch reichhaltige Systeme dar, die bisher noch wenig verstanden sind. Bose-Fermi-Mischungen haben einige Ähnlichkeit zu den wohlbekannten zweikomponentigen Fermi-Fermi-Mischungen, jedoch besitzen sie eine reichhaltigere Physik. Indem man eine Spinkomponente durch ein Boson ersetzt, bewahrt man die Instabilität der Ladungsdichtewelle halbgefüllter fermionischer Systeme. Aus historischen Gründen wird diese Terminologie beibehalten, obwohl die betrachteten fermionischen Atome keine Ladung tragen. Zusätzlich können sich die Bosonen in der superfluiden Phase befinden, woraus sich die Möglichkeit supersoliden (SS) Verhaltens ergibt, welches gekennzeichnet ist durch koexistierende diagonale Ladungsdichtewellen und nichtdiagonale, langreichweitige Superfluidität. Zahlreiche theoretische Arbeiten haben Bose-Fermi-Mischungen in optischen Gittern als Forschungsgegenstand [20–45]. Zur Untersuchung stark korrelierter Bose-Fermi-Mischungen in optischen Gittern wurden verschiedene numerische und analytische Methoden benutzt. In einer Dimension beinhaltet dies den Bethe-Ansatz [25], Bosonisierung [26, 28], Dichtematrix-Renormierungsgruppe [32, 35] und Quanten-Monte-Carlo [23, 36–40]. Jedoch sind nicht-perturbative Methoden in höheren Dimensionen rar. In zwei Dimensionen wurde die Renormierungsgruppenmethode verwendet [24, 31]. Obwohl diese Methode nicht-perturbative Effekte beschreiben kann, ist sie auf schwache Kopplungen beschränkt . Eine weitere Methode, das Ausintegrieren der Fermionen, wurde in zwei [29] und kürzlich in drei Dimensionen [33, 34] angewendet. Darin wird eine langreichweitige, retardierte Wechselwirkung zwischen den Bosonen erzeugt. Dies wiederum bedeutet, dass das resultierende bosonische Problem schwer zu lösen ist. Mit dieser Methode wurde ein wichtiger Fortschritt im Auffinden der Phasengrenzen zwischen Mott-Isolator und Superfluid erzielt. Weiterhin wurde ein Ansatz zusammengesetzter Fermionen verwendet, um qualitativ die möglichen Quantenphasen von Bose-Fermi-Mischungen zu beschreiben [30]. ..