Deux problèmes d’estimation statistique pour les processus stochastiques

This work is devoted to the questions of the statistics of stochastic processes. Particularly, the first chapter is devoted to a non-parametric estimation problem for an inhomogeneous Poisson process. The estimation problem is non-parametric due to the fact that we estimate the mean function. We start with the definition of the asymptotic efficiency in non-parametric estimation problems and continue with examination of the existence of asymptotically efficient estimators. We consider a class of kernel-type estimators. In the thesis we prove that under some conditions on the coefficients of the kernel with respect to a trigonometric basis we have asymptotic efficiency in minimax sense over various sets. The obtained results highlight the phenomenon that imposing regularity conditions on the unknown function, we can widen the class ofasymptotically efficient estimators. To compare these (first order) efficient estimators, we prove an inequality which allows us to find an estimator which is asymptotically efficient of second order. We calculate also the rate of convergence of this estimator, which depends on the regularity of the unknown function, and finally the minimal value of the asymptotic variance for this estimator is calculated. This value plays the same role in the second order estimation as the Pinsker constant in the density estimation problem or the Fisher information in parametric estimation problems. The second chapter is dedicated to a problem of estimation of the solution of a Backward Stochastic Differential Equation (BSDE). We observe a diffusion process which is given by its stochastic differential equation with the diffusion coefficientdepending on an unknown parameter. The observations are discrete. To estimate the solution of a BSDE, we need an estimator-process for a parameter, which, for each given time, uses only the available part of observations. In the literature there exists a method of construction, which minimizes a functional. We could not use this estimator, because the calculations would not be feasible. We propose an estimator-process which has a simple form and can be easily computed. Using this estimator we estimate the solution of a BSDE in an asymptotically efficient way.Le travail est consacré aux questions de la statistique des processus stochastiques. Particulièrement, on considère deux problèmes d'estimation. Le premier chapitre se concentre sur le problème d'estimation non-paramétrique pour le processus de Poisson non-homogène. On estime la fonction moyenne de ce processus, donc le problème est dans le domaine d'estimation non-paramétrique. On commence par la définition de l'efficacité asymptotique dans les problèmes non-paramétriques et on procède à exploration de l'existence des estimateurs asymptotiquement efficaces. On prend en considération la classe des estimateurs à noyau. Dans la thèse il est démontré que sous les conditions sur les coefficients du noyau par rapport à une base trigonométrique, on a l'efficacité asymptotique dans le sens minimax sur les ensembles divers. Les résultats obtenus soulignent le phénomène qu'en imposant des conditions de régularité sur la fonction inconnue, on peut élargir la classe des estimateurs asymptotiquement efficaces. Pour comparer les estimateurs asymptotiquement efficaces (du premier ordre), on démontre une inégalité qui nous permet de trouver un estimateur qui est asymptotiquement efficace du second ordre. On calcule aussi la vitesse de convergence pour cet estimateur, qui dépend de la régularité de la fonction inconnue et finalement on calcule la valeur minimale de la variance asymptotique pour cet estimateur. Cette valeur joue le même rôle dans l'estimation du second ordre que la constantede Pinsker dans le problème d'estimation de la densité ou encore l'information de Fisher dans les problèmes d'estimation paramétrique.Le deuxième chapitre est dédié au problème de l’estimation de la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR). On observe un processus de diffusion qui est donnée par son équation différentielle stochastique dont le coefficient de la diffusion dépend d’un paramètre inconnu. Les observations sont discrètes. Pour estimer la solution de l’EDSR on a besoin d’un estimateur-processus pour leparamètre, qui, chaque instant n’utilise que la partie des observations disponible. Dans la littérature il existe une méthode de construction, qui minimise une fonctionnelle. On ne pouvait pas utiliser cet estimateur, car le calcul serait irréalisable. Dans le travail nous avons proposé un estimateur-processus qui a la forme simple et peut être facilement calculé. Cet estimateur-processus est un estimateur asymptotiquementefficace et en utilisant cet estimateur on estime la solution de l’EDSR de manière efficace aussi