Contribution à la commande simultanée des systèmes linéaires

In this manuscript, a new approach is proposed for the stabilization of polytopes of SISO LTI systems with a fixed order controller. Using the extended segment theorem, we have shown that to stabilize a polytope of LTI systems, it is sufficient to simultaneously stabilize all its vertices by considering an additional condition associated with them. In this paper, we have also presented original methods for the synthesis of simultaneous controllers by combining polynomial techniques and linear optimization. With the proposed synthesis methods, we have shown not only that the controller simultaneously stabilizes the vertices of the system polytope (simultaneous control), but also all systems belonging to the polytope (robust control). It is therefore a simultaneous and robust controller for system polytopes. Before stating results concerning the simultaneous control of all the segments of a polytope of systems, we have studied the control of a segment of systems with an LTI controller. This segment of systems is defined by the two systems located at each of its ends and by a parameter belonging to a given interval. The question of the stabilization of this class of uncertain systems has been formulated as that of a problem of simultaneous control of two systems located at the ends with an equal constraint of the even parts of each of the two characteristic polynomials in closed loop. Conditions of existence of a stabilizing controller for a segment of systems have been given using two polynomial stability criteria : the Hermite-Fujiwara criterion and the Hermite-Biehler criterion. The results obtained for the simultaneous control of a segment of systems have been extended to the stabilization of a polytope of systems. This problem has been reduced to the stabilization of the vertices of the polytope with a simultaneous controller generating closed loop characteristic polynomials having the same even (or odd) part. The existence conditions of these robust, fixed-order and simultaneous controllers are given using the two stability criteria mentioned above. Synthesis algorithms are also developed to design these controllersDans ce mémoire, nous avons proposé une nouvelle approche pour la stabilisation des polytopes de systèmes SISO LTI avec un contrôleur d’ordre fixe. En utilisant le théorème des segments étendus, nous avons montré que, pour stabiliser un polytope de systèmes LTI, il suffit de stabiliser simultanément tous ses sommets en considérant une condition supplémentaire associée à ces derniers. Nous avons présenté également dans ce mémoire des méthodes originales pour la synthèse des contrôleurs simultanés en combinant les techniques polynomiales et l’optimisation linéaire. Avec les méthodes de synthèse proposées, nous avons montré non seulement que le contrôleur stabilise simultanément les sommets du polytope de systèmes (commande simultanée), mais également tous les systèmes appartenant au polytope (commande robuste). Il s’agit donc de contrôleur simultané et robuste pour les polytopes de systèmes. Avant de pouvoir énoncer des résultats concernant la commande simultanée de l’ensemble des segments d’un polytope de systèmes, nous avons étudié la commande d’un segment de systèmes avec un contrôleur LTI. Ce segment de systèmes est défini par les deux systèmes situés à chacune de ses extrémités et par un paramètre appartenant à un intervalle donné. La question de la stabilisation de cette classe de systèmes incertains a été formulée comme celle d’un problème de commande simultanée de deux systèmes situés aux extrémités avec une contrainte d’égalité des parties paires de chacun des deux polynômes caractéristiques en boucle fermée. Des conditions d’existence d’un régulateur stabilisant un segment de systèmes ont été données en utilisant deux critères de stabilité polynomiaux : le critère d’Hermite-Fujiwara et le critère d’Hermite-Biehler. Les résultats obtenus pour la commande simultanée d’un segment de systèmes ont été étendus à la stabilisation d’un polytope de systèmes. Ce problème a été réduit à la stabilisation des sommets du polytope avec un contrôleur simultané générant des polynômes caractéristiques en boucle fermée ayant la même partie paire (ou impaire). Des conditions d’existence de ces contrôleurs simultanés robustes d’ordre fixe sont données en utilisant les deux critères de stabilité mentionnés ci-dessus. Des algorithmes de synthèse sont également développés pour calculer ces régulateur