Study of multigrid methods for solving Poisson-type equations in geodesic icosahedral spherical grids

O objetivo deste trabalho é o estudo de métodos multigrid para a solução de equações elípticas na esfera, discretizadas em malhas esféricas geodésicas icosaédricas. Malhas esféricas geradas a partir de sólidos platônicos receberam crescente atenção ao longo da última década, por serem razoavelmente uniformes e não apresentarem concentração de pontos em torno dos pólos como as tradicionais malhas latitude-longitude. Em especial, as malhas geodésicas icosaédricas (geradas a partir de um icosaedro inscrito na esfera com suas faces projetadas na superfície) têm sido adotadas no desenvolvimento de diversos modelos atmosféricos. Nestes é comum a necessidade de resolução de equações do tipo Poisson como parte do método de integração, motivando o nosso trabalho. Adotamos uma discretização do operador de Laplace baseada em volumes finitos. Para tal escrevemos o laplaciano como o divergente do gradiente. O divergente é discretizado com base nos fluxos nos pontos médios das arestas das células computacionais (com o auxílio do teorema da divergência de Gauss) e no uso de diferenças centradas para aproximar as derivadas nesses pontos médios. Validamos a discretização para o operador de Laplace resolvendo uma equação de Poisson através dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel. Estes sabidamente não são eficientes computacionalmente, devido ao grande e crescente número de iterações necessárias para atingir a convergência ao refinar a malha. Uma alternativa muito eficiente para a resolução de equações elípticas é a métodologia multigrid. Investigamos alguns métodos multigrid propostos na literatura para a solução destas equações na malha esférica geodésica icosaédrica. A partir desse estudo, utilizando também como referência a Análise Local de Fourier para a equação de Poisson em malhas hexagonais uniformes, como uma aproximação para malhas geodésicas icosaédricas, escolhemos um algoritmo multigrid para implementação. Testamos algumas opções para as componentes do esquema multigrid. Obtivemos taxas de convergência muito boas com V(1,1) ciclos com relaxação por Gauss-Seidel, restrição full weighting e interpolação linear.This work is dedicated to the numerical solution of elliptic equations on the sphere, discretized on geodesic icosahedral grids. Spherical meshes generated from projections of platonic solids received considerable attention in the last decade, once they are almost isotropic and do not present a concentration of grid points around the poles, as traditional latitude-longitude grids. In particular, the geodesic icosahedral spherical grids have been adopted in the development of several atmospheric models. In these models, the necessity to solve Poisson type equations is very common, providing a motivation for our present work. We have employed a discretization of the Laplace operator based on finite volumes. We write the Laplacian as the divergent of the gradient operator and use Gauss theorem to derive the discretization of the operator. We integrate the fluxes along the cell borders and approximate them through finite-differences. We first validated the discretization solving Poisson\'s equation with a simple (and very innefficient) Jacobi-Relaxation and Gauss-Seidel. We then investigated the use of multigrid type schemes for the solution of this equation. We have analysed some schemes proposed in the literature, also using an idealized Local Fourier Analysis on hexagonal (planar) grids to estimate the behaviour of the schemes on the icosaedral grids. We have implemented and tested a multigrid method, comparing the performance with different relaxation schemes and transfer operators. We have obtained a very efficient method employing V(1,1) cycles with Gauss-Seidel relaxation, and full-weighting and linear interpolation as transfer-operators