Eindige differentie methodes voor het prijzen van Europese opties met het Heston model.

In de financiële wereld wordt veel gehandeld in producten die opties genoemd worden. In dit onderzoek zullen we een aantal modellen analyseren die gebruikt worden om de waarde van deze producten te bepalen. Deze modellen gaan uit van stochastische differentiaalvergelijkingen om het gedrag van een aandeel te beschrijven. In sectie 2 worden opties geïntroduceerd en laten we drie verschillende modellen voor het gedrag van aandelen zien: het Black-Scholes, Heston en Heston-Hull-White model. Vervolgens leiden we in hoofdstuk 3 uit deze modellen partiële differentiaalvergelijkingen af die de waarde van een optie bepalen. Voor het Heston-Hull-White model blijkt de aanpak die bij de andere twee modellen succesvol was, niet direct te werken. De reden hiervoor wordt toegelicht. Er blijkt wel een andere methode te zijn om uit het Heston-Hull-White model een vergelijking af te leiden. In de rest van het verslag werken we verder met de modellen van Black-Scholes en Heston. In sectie 4 worden een aantal details van het Heston model besproken. Zo tonen we aan dat er geen directe coördinatentransformatie bestaat die de numerieke implementatie vergemakkelijkt. De modellen worden numeriek geïmplementeerd in hoofdstuk 5. We maken hiervoor gebruik van eindige differenties. In sectie 6 worden de resultaten voor de modellen getest. Hierbij ontdekken we dat de randvoorwaarden die aan het begin van het verslag zijn geïntroduceerd, problemen opleveren bij numerieke implementatie. Vervolgens leiden we nieuwe randvoorwaardes af, die beter presteren. Het hoofdresultaat van het onderzoek is een verzameling randvoorwaarden die goed functioneren bij het numerieke schema. In sectie 7 worden deze en andere conclusies gepresenteerd. In de Appendix zijn overige wiskundige details en MATLAB programma's te vinden.Numerical AnalysisElectrical Engineering, Mathematics and Computer Scienc