Dynamical phenomena of synchronization by impulsive coupling

Synchronization phenomena are extremely important and omnipresent in nature. So they are part of the most observed biological behaviours. For instance, they point up the way of working of some brain mechanisms but also the existence of disorders in neuroscience. The main line of the study consists in analysing the different behaviours of a neuronal network in order to describe the conditions in which synchronization appears. Each neuron is simulated by the quadratic integrate-and-fire model (QIF), i.e. by an hybrid integrator. The state variable -the membrane potential- moves between two threshold values. When the high threshold level is reached, the variable is reset to the low one. The coupling between the neurons is impulsive: when a reset occurs, the membrane potential of every connected neurons is increased by a discrete value. This kind of coupling applied to the QIF model is an original feature of the work as litterature is poor on the subject. Moreover, it allows to observe the behaviours of populations including both oscillatory neurons and excitable ones. After a short introduction about the mathematical models of neurons (chapter 2), some analytical tools are first developped in basic cases with two neurons interconnected (chapter 3). The model is then applied in order to simulate the behaviour of more complicated situations (chapter 4 and 5). Finally, heterogeneous neuronal populations are analysed (chapter 6). Throughout the study, the model is compared with the Kuramoto one and their similarities are pointed out.Les phénomènes de synchronisation sont extrêmement importants et omniprésents dans la nature. Ils figurent ainsi parmi les comportements biologiques les plus observés. En neurosciences, ils traduisent par exemple l'existence de certains mécanismes cérébraux mais également de pathologies. Dans ce contexte, le présent travail consiste à étudier les différents comportements exhibés par un réseau de neurones et, en particulier, de mettre en évidence les conditions propices à l'apparition de phénomènes de synchronisation. Chaque neurone est simulé par un modèle quadratic integrate-and-fire (QIF), i.e. par un intégrateur hybride où la variable d'état -le potentiel de membrane- évolue entre deux valeurs seuils. Lorsque le seuil haut est atteint, la variable est réinitialisée à la valeur seuil bas. Le couplage entre les neurones est de nature impulsive: lors de chaque réinitialisation, le potentiel de membrane de chaque neurone connecté est incrémenté d'une valeur discrète. Ce type de couplage, appliqué au modèle QIF, constitue un aspect original du travail car, outre le fait d'avoir été très peu traité dans la littérature, il permet ici d'étudier des comportements de populations où coexistent des neurones oscillateurs et des neurones excitables. Après une brève introduction sur la modélisation mathématique de neurones (chapitre 2), des outils d'analyse sont d'abord mis en place dans des cas simples, composés de seulement deux neurones identiques (chapitre 3), pour ensuite être appliqués à des situations plus compliquées (chapitres 4 et 5). On arrive in fine à analyser des populations hétérogènes de neurones (chapitre 6). Tout au long de la présente étude, un parallélisme est mis en évidence par comparaison avec le modèle de Kuramoto