Die Darstellung von Funktionen mehrerer Variabler durch Punktmengen

In den meisten mehrdimensionalen Problemen, insbesondere der mathematischen Physik, entstehen Probleme nicht nur bei der numerischen Verarbeitung von Funktionen mehrerer Veränderlicher, etwa ihrer Integration, sondern auch, gewissermaßen eine Stufe früher, in der numerischen Darstellung dieser Funktionen. Dabei verstehen wir unter Darstellung sowohl die Form, in der eine solche Funktion einer Datenverarbeitungsanlage eingegeben wird, als auch die Möglichkeiten, in dereine solche Funktion zeichnerisch oder zahlenmäßig veranschaulicht werden kann. Üblicherweise versucht man das Problem der numerischen Darstellung von z. B. in der Ebene definierten Funktionen - und wir werden uns weiterhin auf zweidimensionale Probleme beschränken- dadurch zu lösen, daß man in der Ebene ein Gitterdefiniert und die Funktionswerte an den Gitterpunkten angibt. Differentiationsprozesse werden dann durch Differenzenbildung über diesem Gitter ersetzt, Integrationen mit Hilfe entsprechender Interpolationsformel näherungsweise durchgeführt. Einen völlig anderen Weg geht man in den sogenannten Simulationsverfahren. Wesentliche Voraussetzung hierbei ist, daß sich die darzustellende Funktion als Dichte einer Verteilung in dem Definitionsgebiet deuten läßt. Dies bedeutet mathematisch, daß sie über diesem Definitionsgebiet integrierbar ist und ihr Vorzeichen dort nicht ändert. Man versucht dann eine endliche Punktmenge zu finden, die eine Stichprobe der Verteilung darstellt,so daß - bildlich gesprochen - die Dichte der Punkte ein Maß für den Wert der Funktion ist. Eine mathematisch saubere Interpretation dieses Zusammenhangs liegt - so weit wir sehen - nur für das Problem der mehrdimensionalen Integration vor. Darüberhinaus wird dabeimeist nur eine Gleichverteilung betrachtet d. h. die als Punktdichte dargestellte Funktion ist eine Konstante über endlichem Definitionsbereich (vergl. z. B . $\vert$ 3$\vert$ ) . Der Versuch einer strengen Begründung der insbesondere in der Plasmaphysik üblichen Simulationsverfahren führte uns auf die schon von Weyl 1916 begonnene Theorie der asymptotischen Verteilung modulo 1. Die Sätze und Begriffe dieses Zweiges der Theorie der diophantischen Approximationen scheinen die geeigneten Hilfsmittel zur Begründung einer Darstellung mehrdimensionaler Funktionen sowie deren Integration im Sinne von Gebietsintegralen als auch im Sinne der Lösung partieller Differentialgleichungen erster Ordnung zu sein. Darüber hinaus ermöglicht eine Einbettung dieser Begriffstildung in die Theorie der diskreten Konvergenz, wie sie von Stummel ($\vert$ 9$\vert$) entwickelt wurde, die Anwendung von Sätzen aus dieser Theorie wie z. B. des Lax'schen Aequivalenzsatzes.Wir werden in § 1 die grundlegenden Definitionen und Sätze aus der Theorie der asymptotischen Verteilungen im Sinne einer Approximation von Funktionen durch Punktmengen interpretieren und verallgemeinern. In § 2 geben wir die Sätze zur mehrdimensionalen Integration - wiederum in entsprechender Verallgemeinerung- an. § 3 zeigt die Anwendbarkeit der Theorie zur numerischen Lösung linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Verbindung der Paragraphen 2 und 3 stellt gleichzeitig ein Rüstzeug dar für die Behandlung von Integrodifferentialgleichungen, wie sie etwa in der sogenannten Boltzmann-Vlasov-Gleichung vorliegen und in [7] und [8] schon behandelt wurden