Vararikkoteoria riskittömän sijoitustuoton ollessa saatavilla

Kun vakuutusyhtiön alkupääoma ja vakuutusmaksut korkoineen eivät riitä vahinkojen korvaamiseen, tapahtuu vararikko. Vararikkotodennäköisyyksien laskeminen täsmällisesti on haastavaa, mutta tekemällä oletuksia vakuutuskannasta vararikkotodennäköisyydelle on pystytty johtamaan arvioita. Tämän tutkielman tarkoitus on löytää arvio äärettömän aikajänteen vararikkotodennäköisyydelle siinä tilanteessa, kun paras jakauma vahinkojen suuruuksien arvioimiselle on paksuhäntäinen ja kun vakuutusyhtiön on mahdollista saada varoillensa riskitöntä sijoitustuottoa. Tarkastelu on rajattu niihin paksuhäntäisiin jakaumiin, joiden häntä on säännöllisesti vaihteleva. Tutkielmassa on pyritty esittämään esimerkkejä aiheen selventämiseksi ja lisäksi päätulosta havainnollistetaan simuloimalla vararikkotodennäköisyyttä eräässä esimerkkitapauksessa. Kokonaisvahinkomäärän arvioimisessa käytetään yleisesti Cramér-Lundbergin mallia. Siinä vahinkojen tapahtumishetkiä ja niiden suuruuksia käsitellään erillisinä, toisistaan riippumattomina prosesseina. Vahinkojen suuruuksia voidaan mallintaa erilaisten jakaumien avulla riippuen vakuutuskannan erityispiirteistä. Monissa vakuutuslajeissa suurten vahinkojen tapahtuminen on normaalia todennäköisempää. Tällöin vahinkojen suuruuksia voidaan mallintaa paksuhäntäisten jakaumien avulla, koska niissä ääriarvojen sattumistodennäköisyys on suhteellisen suuri. Osa paksuhäntäisistä jakaumista on säännöllisesti vaihtelevia eli niiden häntäfunktiot käyttäytyvät rajalla samoin. Tässä tutkielmassa paksuhäntäisyyden tarkastelussa käytetään hyväksi säännöllisen vaihtelun käsitettä. Perusesimerkkinä paksuhäntäisestä ja säännöllisesti vaihtelevasta jakaumasta käytetään Pareto-jakaumaa. Tutkielman päälähde on Claudia Klüpperbergin ja Ulrich Stadtmüllerin artikkeli Ruin Probabilities in the Presence of Heavy-Tails and Interest Rates (1998), jossa todistus vararikkotodennäköisyyden arviolle tutkielmassa tehdyin oletuksin on alun perin esitetty