Positivité et propriétés qualitatives des solutions d'équations elliptiques du quatrième ordre

This thesis concerns the study of fourth-order elliptic boundary value problems and, in particular, qualitative properties of solutions. Such problems arise in various fields, from plate theory to conformal geometry and, compared to their second-order counterparts, they present intrinsic difficulties, mainly due to the lack of the maximum principle.In the first part of the thesis, we study the positivity of solutions in case of Steklov boundary conditions, which are intermediate between Dirichlet and Navier boundary conditions. They naturally appear in the study of the minimizers of the Kirchhoff-Love functional, which represents the energy of a hinged thin and loaded plate in dependence of a parameter $\sigma$. We establish sufficient conditions on the domain to obtain the positivity of the minimizers of the functional. Then, for such domains, we study a generalized version of the functional. Using variational techniques, we investigate existence and positivity of the ground states, as well as their asymptotic behaviour for the relevant values of $\sigma$. In the second part of the thesis we establish uniform a-priori bounds for a class of fourth-order semilinear problems in $\mathbb R^4$ with exponential nonlinearities. We consider both Dirichlet and Navier boundary conditions and we suppose our nonlinearities positive and subcritical. Our arguments combine uniform estimates near the boundary and a blow-up analysis. Finally, by means of the degree theory, we obtain the existence of a positive solution.Cette thèse concerne l'étude de certains problèmes elliptiques d'ordre 4 et, notamment, des propriétés qualitatives des solutions. Ces problèmes apparaîssent dans de nombreux domaines, par example dans la théorie des plaques et dans la géometrie conforme, et, comparés à leurs homologues du deuxième ordre, ils présentent des difficultés intrinsèques, surtout liées à l'absence de principe de maximum.Premièrement on étudie la positivité des solutions dans le cas des conditions au bord de Steklov, qui sont intermédiaires entre les conditions de Dirichlet et de Navier. Elles apparaîssent naturellement dans l'étude des minimiseurs de la fonctionnelle de Kirchhoff-Love, qui représente l'énergie d'une plaque encastrée soumise à l'action d'une force extérieure, en fonction d'un paramètre $\sigma$. On trouve des conditions suffisantes sur le domaine pour que les minimiseurs de la fonctionnelle soient positifs. De plus, pour ces domaines, on étudie une version généralisée de la fonctionnelle. En utilisant des techniques variationnelles, on examine l'existence et la positivité des états fondamentaux, ainsi que leur comportement asymptotique pour les valeurs pertinentes de $\sigma$.Dans la deuxième partie de la thèse on établit des estimations uniformes a priori pour des problèmes semilinéaires du quatrième ordre dans $\mathbb R^4$ avec des nonlinéarités exponentielles. On considère des conditions au bord soit de Dirichlet soit de Navier et on suppose que les nonlinéarités sont positives et sous-critiques. Nos arguments combinent des estimations uniformes près du bord et une analyse de blow-up. Enfin, en utilisant la théorie du degré, on obtient l'existence d'une solution