Combinatoire des opérateurs propres de Macdonald

Cette recherche porte sur les opérateurs propres de Macdonald. Le premier chapitre est une revue de littérature, afin de rendre les chapitres suivants accessibles. On y introduit les notions classiques de combinatoire, les notions de base sur les fonctions symétriques et les objets qui sont au cœur de notre propos : les polynômes de Macdonald. On peut alors introduire la notion d'opérateurs «propres» de Macdonald, tels que l'opérateur ∇ qui joue un rôle fondamental dans l'étude de nombreuses questions en lien avec les espaces de polynômes diagonaux harmonique. Dans le chapitre 2, on introduit une généralisation de ∇, les opérateurs monomiaux. Cette généralisation contient un sous-ensemble d'opérateurs dont on montre une interprétation combinatoire. Le fruit de cette recherche sur les opérateurs monomiaux permet une caractérisation de ∇ en terme de propriétés algébriques. Elle permet également une caractérisation des opérateurs monomiaux multiplicatifs, ayant une «symétrie conjuguée» et qui sont «Schur polynomiaux». Sous l'hypothèse que la conjecture 1 de (Bergeron et al., 1999) soit valide cela correspond à la Schur positivité. À la fin de la section 2.3, on formule cinq questions. La première entrainerait la résolution de la conjecture de Bergeron et al. déjà mentionnée. Tandis qu'une réponse à une seule des quatre dernières questions permet une caractérisation minimale de ∇. On utilise également les opérateurs monomiaux pour généraliser la notion d'opérateurs définis par substitution pléthystique. On termine le chapitre avec une classification partielle des opérateurs propres de Macdonald. Le chapitre 3 porte sur la structure de l'opérateur ∇ en la spécialisation q = t = 1. On met en évidence qu'il y a là une singularité et on explique pourquoi celle-ci empêche les opérateurs monomiaux d'y'être bien définis. On termine le chapitre en spéculant sur une interprétation combinatoire potentielle pour la structure en bloc de Jordan de la spécialisation de l'opérateur ∇ en q=t=1.\ud __________________________________________________________________________\ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Fonctions symétriques, opérateurs propres de Macdonald, nabla, Schur positif, chemins de Dyck