Contribution à l'analyse d'algorithmes en arithmétique à virgule flottante

Floating-point arithmetic is an approximation of real arithmetic in which each operation may introduce a rounding error. The IEEE 754 standard requires elementary operations to be as accurate as possible. However, through a computation, rounding errors may accumulate and lead to totally wrong results. It happens for example with an expression as simple as ab + cd for which the naive algorithm sometimes returns a result with a relative error larger than 1. Thus, it is important to analyze algorithms in floating-point arithmetic to understand as thoroughly as possible the generated error. In this thesis, we are interested in the analysis of small building blocks of numerical computing, for which we look for sharp error bounds on the relative error. For this kind of building blocks, in base and precision p, we often successfully prove error bounds of the form α·u + o(u²) where α > 0 and u = 1/2·β1-p is the unit roundoff. To characterize the sharpness of such a bound, one can provide numerical examples for the standard precisions that are close to the bound, or examples that are parametrized by the precision and generate an error of the same form α·u + o(u²), thus proving the asymptotic optimality of the bound. However, the paper and pencil checking of such parametrized examples is a tedious and error-prone task. We worked on the formalization of a symbolicfloating-point arithmetic, over numbers that are parametrized by the precision, and implemented it as a library in the Maple computer algebra system. We also worked on the error analysis of the basic operations for complex numbers in floating-point arithmetic. We proved a very sharp error bound for an algorithm for the inversion of a complex number in floating-point arithmetic. This result suggests that the computation of a complex division according to x/y = (1/y)·x may be preferred, instead of the more classical formula x/y = (x·y)/|y|². Indeed, for any complex multiplication algorithm, the error bound is smaller with the algorithms described by the “inverse and multiply” approach.This is a joint work with my PhD advisors, with the collaboration of Claude-Pierre Jeannerod (CR Inria in AriC, at LIP).L’arithmétique virgule flottante est une approximation de l’arithmétique réelle dans laquelle chaque opération peut introduire une erreur. La norme IEEE 754 requiert que les opérations élémentaires soient aussi précises que possible, mais au cours d’un calcul, les erreurs d’arrondi s’accumulent et peuvent conduire à des résultats totalement faussés. Cela arrive avec une expression aussi simple que ab + cd, pour laquelle l’algorithme naïf retourne parfois un résultat aberrant, avec une erreur relative largement supérieure à 1. Il est donc important d’analyser les algorithmes utilisés pour contrôler l’erreur commise. Je m’intéresse à l’analyse de briques élémentaires du calcul en cherchant des bornes fines sur l’erreur relative.Pour des algorithmes suffisamment précis, en arithmétique de base β et de précision p, on arrive en général à prouver une borne sur l'erreur de la forme α·u + o(u²) où α > 0 et u = 1/2·β1-p est l'unité d'arrondi. Comme indication de la finesse d'une telle borne, on peut fournir des exemples numériques pour les précisions standards qui approchent cette borne, ou bien un exemple paramétré par la précision qui génère une erreur de la forme α·u + o(u²), prouvant ainsi l'optimalité asymptotique de la borne. J’ai travaillé sur la formalisation d’une arithmétique à virgule flottante symbolique, sur des nombres paramétrés par la précision, et à son implantation dans le logiciel de calcul formel Maple.J’ai aussi obtenu une borne d'erreur très fine pour un algorithme d’inversion complexe en arithmétique flottante. Ce résultat suggère le calcul d'une division décrit par la formule x/y = (1/y)·x, par opposition à x/y = (x·y)/|y|². Quel que soit l'algorithme utilisé pour effectuer la multiplication, nous avons une borne d'erreur plus petite pour les algorithmes décrits par la première formule.Ces travaux sont réalisés avec mes directeurs de thèse, en collaboration avec Claude-Pierre Jeannerod (CR Inria dans AriC, au LIP)