Recherche de solutions bifurquées et étude de leur stabilité dans les problèmes d'endommagement

This work is concerned with the development and the implementation of anumerical optimization algorithm in an industrial software for studying the stability of nonlocal gradient damage numerical solutions given by finite elements method. Stability is afundamental concept, that takes into account the existence of multiple solutions whichcould emerge due to the softening constitutive laws generally used to represent theirreversible damage of materials like concrete. Among all those solutions, only stableones, invariant by little perturbations, could be physically observed. The difficulty is tosatisfy the irreversible constraint of damage which drives to define a stability criterion bythe positivity of the second derivative of the total energy in the direction of increasingdamage. It numerically leads to ensure the positivity of the minimum of a quadraticform, using the second derivative matrix and subjected to inequalities constraints. Inconclusion, the aim of this work is to implement an efficient and robust numericalconstraints minimization algorithm in Code_Aster, adapted to different damagemodelling, and to improve it using test cases found in the literature.L’objectif de cette thèse est de développer un algorithme numériquepermettant d’étudier la stabilité des solutions aux problèmes d’endommagement,obtenues en simulation numérique par la méthode des éléments finis et à l’aide demodèles régularisés par le gradient de l’endommagement, aussi appelés modèles non-locaux. La notion de stabilité est fondamentale du fait du caractère adoucissant des loisde comportement utilisées pour représenter le comportement de matériaux tels que lebéton, qui ne nous permet pas de garantir l’unicité de la solution. La recherched’extremum de l’énergie par la méthode des éléments finis peut alors conduire à obtenirplusieurs solutions. Parmi ces solutions, celles qui sont susceptibles d’être physiquementobservables sont les solutions d’équilibre stable, invariantes sous l’effet de petitesperturbations. La difficulté étant de tenir compte de la condition unilatéraled’irréversibilité de l’endommagement, qui conduit à définir le critère de stabilité commela positivité de la dérivée seconde de l’énergie dans la direction des endommagementscroissants. Ramené au cadre numérique et à une discrétisation spatiale du problèmeétudié, le critère de stabilité se définit comme la positivité d’un quotient de Rayleigh,écrit à partir de l’opérateur tangent des dérivées secondes et soumis à des contraintesd’inégalités. Pour étudier le signe de cette quantité, il est nécessaire d’estimer sonminimum à l’aide d’un algorithme d’optimisation sous contraintes. En conclusion,l’objectif de la thèse est de rechercher un algorithme d’optimisation sous contraintesd’inégalités suffisamment efficace et robuste pour traiter des problèmes industriels àgrand nombre de degrés de liberté et pouvant être adapté à des modélisationsdifférentes, de l’implémenter dans le logiciel libre Code_Aster, développé à EDF R&D,puis de le tester et de le valider sur des cas tests extraits de la littérature