Approche algébrique pour l'étude et la résolution de problèmes algorithmiques issus de la cryptographie et de la théorie des codes

McEliece's encryption scheme represents one of the solutions to the security issues that are raised by the possible arrival of quantum computers. The main objective of this thesis is to analyze the security of the McEliece varinats based on MDPC and polar codes.In the case of the MDPC based variant, we manage to reveal a subset of private keys that present an important weakness. We proposed an efficient algorithm that retrieves,for the set of weak keys, the private key given the public key of the system. Next we counted the proportion of weak keys and we used the code equivalence problem to extend the number of keys, that can be retreived with the aforementioned algorithm.We next studied the polar codes and their application to public key cryptography.From an information theory point of view, polar codes have been one of the most studied families of codes, ever since their discovery by Arikan. They are extremely efficient in terms of performance as they are capacity achieving over the Binary Discrete Memoryless Channels and they allow extremely fast encoding and decoding algorithms. Nonetheless, only a few facts are known about their structure. In this context, we introduce an algebraic formalism which allows us to reveal a big part of their structure. We exhibit a few fundamental traits of polar codes: the dual, the minimum distance, the permutation group and the number of minimum weight codewords.We also completely cryptanalyze the McEliece variant using polar codes. The attack is a direct application of the later results on the structure of polar codes.Le schéma de chiffrement de McEliece est une des solutions aux nouveaux défis posés par l'éventuelle apparition des ordinateurs quantiques. L’objectif principal de cette thèse est d’analyser la sécurité des systèmes à la McEliece basés sur les codes MDPC, ainsi que la variante basée sur les codes polaires.Dans le cas des codes MDPC, on a mis en évidence un ensemble de clés possédant une faiblesse importante. En effet, on a proposé pour ces clés faibles un algorithme très efficace qui permet de retrouver une clé privé à partir d’une clé publique en temps polynomial. Ensuite on a compté le nombre des clés faibles et on a utilisé le problème d’équivalence de codes pour augmenter le nombre de clés attaquables par cet algorithme.Ensuite on a étudié les codes polaires et leur application à la cryptographie à clé publique.Depuis leur découverte par E. Arikan, les codes polaires font partie des familles de codes les plus étudiées du point de vue de la théorie de l’information. Ce sont des codes très efficaces en terme de performance car ils atteignent la capacité des canaux binaires symétriques et ils admettent des algorithmes d’encodage et décodage très rapides. Néanmoins, peu de choses sont connues sur leurs propriétés structurelles. Dans ce cadre là, on a introduit un formalisme algébrique qui nous a permit de révéler une grande partie de la structure de ces codes. En effet, on a réussi à répondre à des questions fondamentales concernant les codes polaires comme : le dual ou la distance minimale d’un code polaire, le groupe des permutations ou le nombre des mots de poids faible d’un code polaire.Par la suite on a réussi à faire une cryptanalyse complète du schéma de McEliece à base de codes polaires. Ce résultat a été une application directe des propriétés découvertes sur les codes polaires