Hoeveel wiskunde zwemt er achter de eendjes?

Afgelopen jaar kwam in de nationale wetenschapsquiz de volgende vraag voor: Vraag 13: Een eend zwemt met haar jongen in een diepe sloot. Een van de kuikens dwaalt af. Moeder eend haalt het kuiken snel in. Wat is het verschil in de hoeken van de V-vormige boeggolven van moeder en jong? A. De hoek die de moedereend maakt is scherper. B. De hoek die de moedereend maakt is stomper. C. Er is geen verschil. Op het eerste gezicht een makkelijke vraag, maar er zit een hoop wiskunde achter. Het belangrijkste feit is hier dat, de eend golven met zulke kleine golflengte maakt, dat we de sloot als oneindig diep kunnen beschouwen. Een zwaan zou bijvoorbeeld al te groot zijn en golven met een grote golflengte maken, zodat we de theorie over de golven in oneindig diep water niet meer kunnen gebruiken. In dit stuk gaan we wat verder dan antwoorden op deze vraag. Op het moment dat we er achter komen of de hoek van de golven van de snelheid afhangt, gaan we dierect kijken naar hoe groot deze hoek eigenlijk is. Dit doen we aan de hand van verschillende methoden, zoals die door verschillende mensen gebruikt zijn. Eerst kijken we naar het algemen idee van Lord Kelvin, beschreven door James Lighthill. Deze gebruikte veel natuurkundige aspecten van verplaatsen van golven. Maar er ontbreekt een bewijs waarom de golven zich voortplanten met de golfsnelheid. Bewijs hiervan geven A.R. Paterson, G.B. Whitham en J.N. Newman door verschillende theorieën toe te passen. Het bewijs van A.R. Paterson geven we direct bij de theorie van Lord Kelvin. G.B. Whitham en J.N. Newman hebben zelf ook een ander bewijs gegeven voor de grootte van de hoek. Deze bewijzen hangen meer van de wiskundige aspecten van de golven af. De laatste methode van J.J. Stoker beschrijft de golven met behulp van de stationary phase. Deze methode heeft Lord Kelvin speciaal voor dit probleem bedacht en aan het eind wordt ze uitgelegd en bewezen zover het noodzakelijk is.