Structural Analysis of Multi-Mode DAE Systems

Differential Algebraic Equation (DAE) systems constitute the mathematical model supporting physical modeling languages such as Modelica, VHDL-AMS, or Simscape. Unlike ODEs, they exhibit subtle issues because of their implicit latent equations and related differentiation index. Multi-mode DAE (mDAE) systems are much harder to deal with, not only because of their mode-dependent dynamics, but essentially because of the events and resets occurring at mode transitions. Unfortunately, the large literature devoted to the numerical analysis of DAEs does not cover the multi-mode case. It typically says nothing about mode changes. This lack of foundations cause numerous difficulties to the existing modeling tools. Some models are well handled, others are not, with no clear boundary between the two classes. In this paper we develop a comprehensive mathematical approach to the structural analysis of mDAE systems which properly extends the usual analysis of DAE systems. We define a constructive semantics based on nonstandard analysis and show how to produce execution schemes in a systematic way.La modélisation des systèmes physiques s’effectue de plus en plus à l’aide de langages utilisant des DAE (Differential Algebraic Equation), et non plus seulement des ODE (Ordinary Differential Equation). L’exemple le plus connu est Modelica, mais il existe d’autres outils (VHDL-AMS, Simscape, en particulier). Les DAE présentent une difficulté nouvelle par rapport aux ODE: les notions d’équation latente et d’index de différentiation. Ces deux notions ont été proposées et étudiées en profondeur par les mathématiciens depuis bientôt trente ans et jouent un rôle important dans les outils de modélisation, à travers ce qu’on appelle l’analyse structurelle de ces systèmes.En revanche, les systèmes de DAE multi-modes (où la dynamique dépend du mode où se trouve le système) sont beaucoup plus difficiles à étudier; non seulement parce que la dynamique dépend du mode, mais surtout à cause des événements de changement de mode, avec les réinitialisations associées. Et, de fait, les systèmes de DAE multi-modes ont été peu étudiés en profondeur. Avec pour conséquence que le traitement des changements de mode est insuffisamment compris, et que les outils de modélisation ne traitent que des classes restreintes de modèles, avec une absence de définition claire de la nature de ces restrictions.Dans ce travail, nous présentons une approche systématique, mathématiquement fondée, pour l’analyse structurelle des systèmes de DAE multi-modes. Nous utilisons l’analyse non-standard pour ramener l’analyse structurelle à un problème sur des systèmes dynamiques à temps discret, et nous réutilisons les idées provenant de la sémantique constructive des langages synchrones. Nous complétons ceci par des techniques de standardisation (provenant de l’analyse non-standard) pour obtenir le code exécutable final, où une structure d’automate coiffe et coordonne le travail des solveurs