Sobre a estabilização de sistemas lineares

Tese de doutoramento, Matemática (Álgebra, Lógica e Fundamentos), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2013Uma matriz complexa quadrada A diz-se estável se as partes reais dos seus valores próprios forem negativas. Um conhecido resultado devido a Lyapunov estabelece que - A é estável se e só se existe uma matriz hermítica H definida positiva tal que AH + H A* é definida positiva. O teorema geral de inércia, devido a Ostrowski, Scheneider e Taussky, estabelece que existe uma matriz hermítica H tal que AH + H A* é definida positiva se o só se A não tem valores próprios com parte real nula; e, neste caso, as inércias de A e H coincidem. Um par (A; B) de matrizes de tamanhos n+n e n+m, respetivamente, diz-se estabilizável se existe X tal que A + BX é estável. Nesta dissertação, os resultados anteriores e outros teoremas sobre inércia foram generalizados para pares de matrizes, com vista a estudar a estabilização. De seguida, resultados análogos sobre a estabilização com respeito ao círculo unitário foram também considerados.A complex square matrix A is said to be stable if the real parts of its eigenvalues are negative. A well-known theorem due to Lyapunov states that A is stable if and only if there exists a (Hermitian) positive definitenite matrix H such that AH +H A* is positive definite. The main inertia theorem, due to Ostrowski, Scheneider and Taussky, states that there exists a Hermitian matrix H such that AH + H A* is positive definite if and only if A has no eigenvalues with zero real part; and, in that case, the inertias of A and H coincide. A pair (A; B) of matrices of sizes n+n and n+m, respectively, is said to be stabilizable if there exists X such that A + BX is stable. In this work, the results above and other inertia theorems were generalized to pairs of matrices, in order to study stabilization. Analogous questions about stabilization with respect to the unit disc were also considered.Centro de Estruturas Lineares e Combinat órias (CELC