A calculadora gráfica e as funções: um estudo com alunos do 11º. ano de escolaridade

Tese de mestrado, Educação (Didáctica da Matemática), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2009O presente estudo tem como objectivo estudar a forma como os alunos do 11.ºano de escolaridade integram a calculadora gráfica na sua actividade matemática ao trabalharem o tema “Funções Racionais”. Para tal, procura dar resposta às seguintes questões: (a) Quais os esquemas que os alunos utilizam na exploração de funções racionais? (b) Qual o papel que os alunos atribuem à calculadora gráfica na resolução de questões matemáticas sobre funções? e (c) Como lidam os alunos com os aspectos técnicos da calculadora gráfica? A natureza das questões envolvidas levou à adopção de uma metodologia de natureza qualitativa, assente no paradigma interpretativo, e à opção pela realização de um estudo de caso, envolvendo um par de alunos do 11.º ano de escolaridade. Para a recolha de dados foram utilizados as seguintes estratégias: (i) duas entrevistas; (ii) observação de um conjunto de seis aulas de noventa minutos; e (iii) análise documental das produções escritas dos alunos. Os resultados obtidos parecem indicar que, no decurso da exploração do tema “Funções Racionais”, os alunos integram a calculadora gráfica na sua actividade matemática de forma significativa. A partir das funcionalidades da calculadora gráfica, os alunos aplicaram esquemas instrumentais na análise do gráfico de uma função, na escolha da janela de visualização, na determinação de extremos e pontos do gráfico de uma função, na determinação dos pontos de intersecção dos gráficos de duas funções e na resolução de equações e de inequações fraccionárias. Apesar de os alunos valorizarem mais a aplicação de esquemas de compreensão algébrica, a utilização da calculadora gráfica parece ter contribuído para o desenvolvimento de esquemas mentais que permitiram aos alunos olhar para a Matemática de uma forma dinâmica, entender a Álgebra como um meio de representação e estabelecer conexões entre a expressão analítica e a representação gráfica de funções racionais. Relativamente ao papel que os alunos atribuem à calculadora gráfica na resolução de questões matemáticas sobre funções, verificou-se que esta foi considerada importante para a visualização de gráficos de funções, validação de conjecturas, confirmação de resultados obtidos por processos analíticos e resolução de problemas. Quanto aos aspectos técnicos da calculadora gráfica, verificou-se nos alunos um razoável desempenho na escolha da janela de visualização e um bom domínio dos aspectos relativos à sintaxe. No entanto, observouse que fizeram uma fraca utilização do Modo TABELA, tendo sido pouco considerada a representação numérica de funções racionais.The aim of the present study is to study how do grade 11 students (secondary education) integrate the graphic calculator in their mathematical activity when working on "Rational Functions". So, it tries to answer to the following questions: (a) Which schemes do students use in the exploration of rational functions? (b) Which role do the students attribute to the graphic calculator in the resolution of mathematical questions about functions? How do students deal with specific technical issues of the graphic calculator? The nature of these questions led to the adoption of a methodology of qualitative nature, based in the interpretative paradigm, and to the option for the accomplishment of a case study, involving a pair of grade 11 students. In order to collect data the following strategies were used: (i) two interviews; (ii) observation of a group of six classes of ninety minutes each; and (iii) documental analysis of the students’ written work. The accomplished results seem to indicate that, in the exploration of rational functions, the students integrate graphic calculator in their mathematical activity in a significant way. Through the abilities of the graphic calculator, students applied instrumental schemes in the analysis of a graphic function, in choosing a view-window, in the determination of the extremes and the points of the graphic of a function, in the determination of graphic’s intersection points of two functions and in the resolution of fractional equations and inequations. Although students value more the application of the algebraic understanding schemes, the using of graphic calculator seem to have contributed to the development of mental schemes that allowed students to look at mathematics in a dynamical way, to understand Algebra as a way of representation and to establish connections between the analytical expression and the graphic representation of rational functions. Concerning the role of the graphic calculator in the work on mathematical questions about functions, it assumed an important role in the visualization of the functions’ graphs, in the validation of conjectures, in the confirmation of results obtained by analytical processes and in solving problems. Regarding the technical aspects of the graphic calculator, that the results show that students reveal a reasonable performance in the choice of the view-window, and a good mastering of the aspects related to the syntax. However, students did a weak use of the Mode TABLE, and did not consider the numeric representation of rational functions