Statistique de l'interférence quantique et circuits quantiques aléatoires

Cette thèse présente différents résultats portant sur deux thèmes précis dans le domaine de l'information quantique. Le premier de ces thèmes concerne l'interférence présente dans les algorithmes quantiques. Par l'intermédiaire d’une mesure récemment introduite dans la littérature, il est possible de quantifier l'interférence présente dans tout algorithme quantique, dans le but de vérifier si il existe un lien entre interférence et ressource computationnelle. Pour ce faire, deux types de modèles statistiques d'algorithmes quantiques ont été utilisés. Le premier type, issu de la théorie des matrices aléatoires, est l'ensemble circulaire unitaire(CUE) tandis que le second est un ensemble de circuits quantiques, construits par des séquences aléatoires de portes quantiques. Les résultats analytiques et numériques obtenus dans cette thèse montrent qu'en moyenne tout algorithme quantique contient une grande quantité d'interférence. L'étape supplémentaire fût d'étudier l'influence de la décohérence engendrée par un bain thermique sur le comportement statistique de l'interférence. Grâce à l'utilisation de méthodes mathématiques d'intégrations sur le groupe unitaire U (N ), il est possible de généraliser les résultats analytiques et numériques précédents pour inclure les effets de la décohérence. Le deuxième thème étudié concerne la possibilité d'utiliser des algorithmes quantiques pour créer efficacement des ensembles de matrices aléatoires. Pendant les travaux sur l'interférence, une équivalence entre CUE et le modèle de circuits quantiques aléatoires fût observée. On peut attendre que de tels circuits quantiques aléatoires puissent être utilisé pour construire des matrices aléatoires distribuées comme CUE. Les résultats numériques de cette thèse montrent que certaines quantités statistiques propres à CUE sont bien reproduites par le modèle de séquences aléatoires, ceci de manière efficace. L'efficacité signifie que les séquences sont constituées d'un nombre de portes qui augmente comme le logarithme de la taille des matrices produites. Ces résultats sont en parfait accord avec des travaux analytiques récemment publiés.This thesis presents different results about two topics in the field of quantum information. The first of these topics concerns the interference present in quantum algorithms. Thanks to a measure recently introduce in the litterature, it is possible to quantify the interference present in any quantum algorithm, in order to check if there is a link between interference and computationnal ressource. To do this, two kinds of statistical models of quantum algorithms were used. The first one, which comes from the random matrix theory, is the circular unitary ensemble(CUE) while the second one is a set of quantum circuits, built by random sequences of quantum gates.The analytical and numerical results obtained in this thesis show that on average anyquantum algorithm contain a big amount of interference. The next step was to study the influence of the decoherence created by a thermal bath on the statistics of the interference. Thanks to mathematical methods of integration over the unitary group U (N ), it is possible to generalise the previous analytical and numerical results to include the effect of decoherence. The second topic is about the possibility of using quantum algorithms to create efficiently random matrix ensembles. During the works on interference, an equivalence between CUE and the model of random quantum circuits was noticed. One might expect that such random quantum circuits can be used to build random matrix ensembles drawn as CUE. The numerical results of this thesis show that given CUE quantities are well reproduced by the model of random sequences in an efficient way. The efficiency means that the sequences are built with a number of gates which increases as the logarithm of the size of the produced matrices. These results are in agreement with recently published works