Estimation nonparamétrique de la structure de covariance des processus stochastiques

L'objectif principal de cette thèse est le développement des méthodes nonparamétriques pour l'estimation de la covariance d'un processus stochastique. En supposant des conditions différentes sur le processus, des estimateurs de la fonction de covariance sont introduits, possédant la propriété d'être des fonctions définies positives. En outre, une méthode pour l'estimation de la matrice de covariance d'un processus stochastique dans un cadre de grande dimension est proposée. Nous avons choisi d'organiser la synthèse de nos travaux sous la forme suivante: une première partie d'introduction générale, le Chapitre 1, où nous présentons de façon succincte les notions à la base de notre travail ainsi que les définitions des différents objets qui nous intéressent. Ensuite, viennent trois chapitres où sont détaillées les nouvelles méthodes d'estimation proposées. Plus précisément, dans chaque chapitre nous avons développé des techniques d'estimation nonparamétrique différentes: approximation des fonctions par ondelettes avec seuillage dans le Chapitre 2, sélection des modèles dans le Chapitre 3, et estimation par une méthode de pénalisation de type Group-Lasso dans le Chapitre 4. Le comportement théorique des estimateurs est étudié dans tous les cas et ses bonnes performances pratiques sont montrées par quelques exemples numériques.The main objective of this thesis is the development of nonparametric methods for estimating the covariance of a stochastic process. Assuming different conditions on the process, estimators of the covariance function are introduced, having the property of being non-negative definite functions. In addition, a method for estimating the covariance matrix of a stochastic process in a high dimensional setting is proposed. Our work is organized as follows: in Chapter 1 we give a general introduction, where we present briefly the concepts and definitions underlying our work. Then come three chapters, detailing the proposed new estimation methods. More precisely, in each chapter we have developed different nonparametric estimation techniques: function approximation by wavelet thresholding in Chapter 2, model selection in Chapter 3, and estimation by Group-Lasso penalization in Chapter 4. The theoretical behavior of the estimators is studied in all cases and its good practical performances are shown in some numerical examples