Die Dissertation mit dem Titel MONOTONICITY FOR SOME GEOMETRIC FLOWS

Hilfsmiel angefertigt zu haben. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prü-fungsbehörde vorgelegen und ist noch nicht veröffentlicht. Potsdam, den . September Ahmad Afuni e aim of this thesis is to establish local monotonicity formulæ for solutions to Dirichlet-type flows, such as the harmonic map and Yang-Mills heat flows, and the mean curvature flow. In par-ticular, for the former, we allow as domain an evolving Riemannian manifold and for the laer, we allow as target an evolving Riemannian manifold. e approach taken consists in first deriving divergence identities involving an appropriate evolving quantity, then integrating over superlevel sets (heat balls) of suitable kernels. A theory of heat balls analogous to that of Ecker, Knopf, Ni and Topping is developed in order to accomplish this. e main result is then that, provided certain in-tegrals are finite, local monotonicity formulæ hold in this general seing, thus generalizing results for the mean curvature and harmonic map heat flows and establishing a new local monotonicity formula for solutions to the Yang-Mills flow. Zusammenfassung Das Ziel dieser Dissertation ist das Beweisen lokaler Monotonieformeln ür Lösungen Dirichlet-artiger Flüsse, wie des harmonischenAbbildungs- und Yang-Mills-Flusses, und desmileren Krüm-mungsflusses. Für die Ersteren darf die Metrik des Definitionsbereiches und ür den Letzteren die der Zielmannigfaltigkeit eine Evolutionsgleichung lösen. Die gewählte Methode besteht darin, daß einige eine geeignete entwickelnde Größe umfassende Divergenzidentitäten erst hergeleitet wer-den, und daß diese dann über Superniveaumengen zulässiger Kerne integriert werden, zu welche