On arithmetic in Mordell-Weil groups of abelian variety over finitely generated field over Q

Matematyki i Informatyki: Zakład Arytmetycznej Geometrii AlgebraicznejNiniejsza rozprawa jest poświęcona rozwiązaniu dwóch problemów. Pierwszym zagadnieniem jakie jest rozważany w rozprawie jest problem nośnika. Jako pierwszy sformułował go P. Erdös w następujący sposób: Załóżmy, że dla pewnych liczb całkowitych x, y następujący warunek jest spełniony:Supp(xn − 1) implikuje Supp(yn − 1),dla wszystkich liczb naturalnych n. Czy z tego wynika, że x = y.Problem ten został rozwiązany przez C. Corrales-Rodrigáñez i R. Schoof. Następnie problem ten został uogólniony na rozmaitości abelowe nad ciałem liczbowym i był rozwiązany dla szczególnych klas rozmaitości abelowych przez Banaszaka, Gajdę, Krasonia, Khare, Prasada i innych.W swojej rozprawie rozszerzam ten wynik dla abelowych rozmaitości nad ciałem skończenie generowanym nad Q.Drugi problem dotyczy liniowej zależności punktów na rozmaitości abelowej. Pytanie to sformułował W. Gajda w 2002 r. w następujący sposób:Czy dla rozmaitości abelowej A i jej podgrupy G następujące warunki są równoważne:· P należy do podgrupy G;· rv(P) należy do rv(G), dla prawie wszystkich v z pierścienia OFProblematyka ta była rozważana w przeciągu kilku następnych lat. Jednakże wszystkie wyniki uzyskiwane w tych pracach były dla rozmaitości abelowych nad ciałem liczbowym. W rozprawie rozszerzam ten problem na ciała skończenie generowane nad Q.This dissertation is devoted to solving two problems. The first problem which is being considered at the dissertation is support problem. The problem formulated by P. Erdös as follows:Suppose that for some integers x,y, the following condition holdsSupp(xn − 1) implicates Supp(yn − 1),for every natural number n. Is then x=y?C. Corrales-Rodrigáñez and R. Schoof answered the question and proved its analogue for number fields and for elliptic curve. Larsen gave a solution of the support problem for all abelian varieties over number fields. In this dissertation I extends this result to abelian varieties over finitely generated field over Q.Second problem is linear dependence of points in Mordell-Weil groups of abelian varieties via reduction maps . I solves this problem for abelian varieties over finitely generated field over Q