Phases topologiques et fermions de Majorana

In this thesis, we study theoretically different aspects of topological systems. These models present resilient properties due to a non-trivial topology of their band structures, and in particular exotic edge excitations such as Majorana fermions. Entanglement markers have been fundamental to the study of these systems and of gapless systems in general, but are challenging to measure. Bipartite charge fluctuations were proposed as a weak measurement of entanglement entropy. We extend results on standard Luttinger Liquids to generic families of one- and two-dimensional non-interacting topological systems. A volume law arises, and is linked to the Quantum Fisher information, with non-analyticities at the phase transitions. Critical points are characterized by universal coefficients that reveal the topological aspect of the transitions.In a second time, we include interactions and show that some of these signatures are preserved in interacting topological superconductors. Through analytical and numerical methods, we study two Coulomb-coupled topological superconducting wires. The interplay between unconventional superconductivity and strong interactions leads to exotic phases. We show the appearance of orbital currents spontaneously breaking the time-reversal symmetry, and of an unusual gapless phase that is the extension of two critical Majorana modes.Finally, we focus on electronic transport mediated by Majorana fermions. We study a floating superconducting island carrying several such impurities, a potential building block for a quantum computer. The Majorana fermions affect the statistics of the charge carriers, which leads to very resilient fractionalized transport. We extend previous studies to the charge degenerate case and map it to the Multi-Channel Kondo model at large interaction, reinterpreted in terms of a particle moving in a high-dimensional, dissipative lattice.Dans cette thèse, nous étudions d'un point de vue théorique différents aspects de la matière topologique. Ces systèmes présentent des propriétés résistantes aux éventuelles perturbations grâce à une topologie non-triviale de leur structure de bandes. Des excitations exotiques, par exemple des fermions de Majorana, peuvent apparaître à leurs bords. L'étude des marqueurs d'intrication a été fondamentale dans la compréhension de ces systèmes, et des phases libres en général. Il est cependant difficile de les mesurer. Les fluctuations de charge bipartites, permettant une mesure faible de l'intrication, ont été proposées comme alternative. Nous généralisons les précédents travaux sur les Liquides de Luttinger à des familles génériques de supraconducteurs et isolants topologiques en une et deux dimensions. Les fluctuations suivent une loi de volume, liée à l'Information Quantique de Fisher et non-analytique aux transition de phase. Leurs points critiques sont caractérisés par des coefficients universels, qui révèlent leur topologie.Dans un second temps, nous considérons des systèmes en interactions. Certaines des signatures des transitions topologiques survivent dans les supraconducteurs topologiques. Nous étudions ensuite le diagramme de phase de deux fils supraconducteurs couplés par une interaction Coulombienne, présentant des phases exotiques grâce à la compétition avec la supraconductivité non-conventionnelle. Des courants orbitaux brisant spontanément la symétrie de renversement du temps peuvent apparaître, ainsi qu'une phase de fermions libres, extension de deux chaînes de Majorana critiques.Enfin, nous nous intéressons aux effets des fermions de Majorana sur le transport électronique. Nous étudions un îlot supraconducteur où plusieurs de ces fermions existent, pouvant être l'un des composants élémentaires d'un éventuel ordinateur quantique. Ces impuretés changent les statistiques des porteurs de charges, menant à une fractionalisation robuste de la conductance. Nous étendons les études précédentes au cas où le nombre d'électrons dans la boîte peut fluctuer, et montrons l'équivalence de ce problème avec le modèle Kondo à plusieurs canaux. Nous réinterprétons alors ce modèle en terme du déplacement d'une particule dans un réseau fictif dissipatif