SINGULAR DISTRIBUTIONS, DIMENSION OF SUPPORT, AND SYMMETRY OF FOURIER TRANSFORM

ABSTRACT. We study the “Fourier symmetry ” of measures and distributions on the circle, in relation with the size of their supports. The main results of this paper are: (i) A one-side extension of Frostman’s theorem, which connects the rate of decay of Fourier transform of a distribution with the Hausdorff dimen-sion of the support; (ii) A construction of compacts of “critical ” size, which support distribu-tions (even pseudo-functions) with anti-analytic part belonging to l 2. We also give examples of non-symmetry which may occur for measures with “small ” support. A number of open questions are stated. RÉSUMÉ. On étudie la “symétrie de Fourier ” des mesures et des distributions sur le cercle en rapport avec la dimension de leurs supports. Les résultats essentiels du présent travail sont les suivants: (i) L’extension unilatérale du théorème de Frostman qui met en rapport la vitesse de décroissance de la transformation de Fourier d’une distribu-tion et la dimension de Hausdorf de son support. (ii) La construction des compacts d’une taille “critique ” qui peut supporter des distributions (voire des pseudo-fonctions) avec une partie anti-ana-lytique appartenant à l 2. On donne également quelques exemples de l’asymétrie qui peut se produire pour des mesures à “petit ” support. Plusieurs questions ouvertes sont for-mulées. I Let K be a compact subset of the circle groupT. Frostman’s theorem allows to characterize the Hausdorff dimension of K by examining (non-trivial) measures supported on K. The most common version states that dimK = sup α: ∃µ supported on K wit