THE PRECISE SHAPE OF THE EIGENVALUE INTENSITY FOR A CLASS OF NON-SELFADJOINT OPERATORS UNDER RANDOM PERTURBATIONS

Abstract. We consider a non-selfadjoint h-differential model operator Ph in the semi-classical limit (h → 0) subject to small random perturbations. Furthermore, we let the coupling constant δ be e− 1 Ch ≤ δ hκ for constants C, κ> 0 suitably large. Let Σ be the closure of the range of the principal symbol. Previous results on the same model by Hager, Bordeaux-Montrieux and Sjöstrand show that if δ e − 1Ch there is, with a probability close to 1, a Weyl law for the eigenvalues in the interior of the of the pseudospectrum up to a distance (−h ln δh) 23 to the boundary of Σ. We study the intensity measure of the random point process of eigenvalues and prove an h-asymptotic formula for the average density of eigenvalues. With this we show that there are three distinct regions of different spectral behavior in Σ: The interior of the of the pseudospectrum is solely governed by a Weyl law, close to its boundary there is a strong spectral accumulation given by a tunneling effect followed by a region where the density decays rapidly. Résumé. Nous considérons un opérateur différentiel non-autoadjoint Ph dans la lim-ite semiclassique (h → 0) soumis à de petites perturbations aléatoires. De plus, nous imposons que la constant couplage δ verifie e− 1 Ch ≤ δ hκ pour certaines constantes C, κ> 0 choisies assez grandes. Soit Σ l’adhérence de l’image du symbole principal de Ph. De précédents résultats par Hager, Bordeaux-Montrieux and Sjöstrand montrent que, pour le même opérateur, si l’on choisit δ e − 1Ch, alors la distribution des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl jusqu’à une distance (−h ln δh) 23 du bord de Σ. Dans cet article, nous donnons une formule h-asymptotique pour la densité moyenne des valeurs propres en étduiant le mesure de comptage alétoire des valeurs propres. En étudiant cette densité, nous prouvons qu’il y a une loi de Weyl à l’interieur du δ-pseudospectre, une zone d’accumulation des valeurs propres dûe à un effet tunnel près du bord du pseudospectre suivi par une zone où la densité décroît rapidement