Partial Differential Equations Scalar conservation laws with nonlinear boundary conditions

This Note deals with uniqueness and continuous dependence of solutions to the problem ut + divϕ(u) = f on (0, T) × Ω with initial condition u(0, ·) = u0 on Ω and with (formal) nonlinear boundary conditions ϕ(u) · ν ∈ β(t, x,u) on (0, T) × ∂Ω, where β(t, x, ·) stands for a maximal monotone graph on R. We suggest an interpretation of the formal boundary condition which gener-alizes the Bardos–LeRoux–Nédélec condition, and introduce the corresponding notions of entropy and entropy process solutions using the strong trace framework of E.Yu. Panov. We prove uniqueness and provide some support for our interpretation of the boundary condition. To cite this article: B. Andreianov, K. Sbihi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Lois de conservation scalaires avec des conditions non linéaires au bord. Cette Note est dédiée aux résultats d’unicité des solutions du problème ut+ div ϕ(u) = f sur (0, T)×Ω avec la condition initiale u(0, ·) = u0 sur Ω et les conditions non linéaires ϕ(u) · ν ∈ β(t, x,u) sur (0, T) × ∂Ω; ici β(t, x, ·) désigne un graphe maximal monotone sur R. Nous proposons une interprétation de la condition formelle « ϕ(u) ·ν ∈ β(t, x,u) » qui généralise celle de Bardos–LeRoux–Nédélec; nous introduisons les notions de solutions entropiques et solutions processus entropiques. Nous montrons l’unicité et argumentons en faveur de notre interprétation de la condition au bord. Pour citer cet article: B. Andreianov, K. Sbihi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. 1