Poincaré inequalities and dimension free concentration of measure

Abstract. In this paper, we consider Poincaré inequalities for non-Euclidean metrics on Rd. These inequalities enable us to de-rive precise dimension free concentration inequalities for product measures. This technique is appropriate for a large scope of concentration rate: between exponential and Gaussian and beyond. We give equivalent functional forms of these Poincaré type inequalities in terms of transportation-cost inequalities and inf-convolution inequalities. Workable sufficient conditions are given and a comparison is made with super Poincaré inequalities. Résumé. Dans cet article, nous introduisons des inégalités de Poincaré pour des métriques non-euclidiennes sur Rd et nous mon-trons qu’elles entraînent des inégalités de concentrations adimensionnelles pour les mesures produits. Cette technique nous permet d’atteindre un spectre très large de taux de concentration, aussi bien sous et sur-gaussiens. Par ailleurs, nous montrons que ces inégalités de Poincaré admettent des formes fonctionnelles équivalentes en termes d’inégalités de transport et d’inf-convolution. Enfin, nous donnons des conditions suffisantes pour ces inégalités de Poincaré et nous les comparons aux inégalités super-Poincaré. MSC: 60E15; 26D1