The Scaling Site Le Site des Fréquences

We investigate the semi-ringed topos obtained by extension of scalars from the arithmetic site A of [3, 4], by replacing the smallest Boolean semifield B by the tropical semifield Rmax+. The obtained site [0,∞) ⋊N × is the semi-direct product of the Euclidean half-line by the action of the monoid N × of positive integers by multiplication. Its points are the same as the points A (Rmax+) over Rmax+ and coincide with the quotient of the adèle class space of Q by the action of the maximal compact subgroup Ẑ ∗ of the idele class group. The structure sheaf of the scaling topos endows it with a natural structure of tropical curve over the topos N̂×. The restriction of this structure to the periodic orbits of the scaling flow gives, for each prime p, an analogue Cp of an elliptic curve whose Jacobian is Z/(p − 1)Z. The Riemann-Roch formula holds on Cp and involves real valued dimensions and real degrees for divisors. Résumé Le Site des Fréquences [0,∞) ⋊N × est obtenu a ̀ partir du site arithmétique A de [3,4] par extension des scalaires du semicorps booléen B au semicorps tropical Rmax+. C’est le produit semi-direct de la demi-droite Euclidienne[0,∞) par l’action du semi-groupe N × des entiers positifs par multiplication. Ses points sont les mêmes que ceux du site arithmétique définis sur Rmax+ et forment le quotient de l’espace des classes d’adèles de Q par l’action du sous-groupe compact maximal du groupe des classes d’idèles. Le faisceau structural du site des fréquences en fait une courbe tropicale dans le topos N̂×. La restriction de cette structure aux orbites périodiques donne, pour chaque nombre premier p, un analogue Cp d’une courbe elliptique dont la Jacobienne est Z/(p − 1)Z. La formule de Riemann-Roch pour Cp fait apparaitre des dimensions a ̀ valeurs réelles et les degrés des diviseurs sont des nombres réels. 1