A Data-Driven Bound on Variances for Avoiding Degeneracy in Univariate Gaussian Mixtures∗

In the case of univariate Gaussian mixtures, unbounded likelihood is an important theoretical and practical problem. Using the weak information that the latent sample size of each component has to be greater than the space dimension, we derive a simple non-asymptotic stochastic lower bound on variances. We prove also that maximizing the likelihood under this data-driven constraint leads to consistent estimates. Résumé Dans le cas des mélanges gaussiens univariés, le fait que la vraisem-blance soit non bornée est un problème théorique et pratique important. Dans ce contexte d’estimation, il est naturel d’imposer que chaque com-posante du mélange a généré un minimum de deux individus. Cette in-formation pour le moins minimale nous permet d’obtenir une borne in-férieure stochastique sur les variances qui est non asymptotique et aussi très simple à calculer. Nous prouvons également que la maximisation de la vraisemblance sous cette contrainte aléatoire conduit bien à des esti-mateurs convergents. Key words and phrases. Univariate Gaussian mixture, maximum likelihood, non-asymptotic bound, consistent estimate