Vol. 71, No I A remark on the L1-norm of Brownian motion∗

The Laplace transform of the integral of the absolute value of a real Brownian motion has been computed in 1945 by M. Kac [5], with the help of a long and subtle asymptotic analysis on Bessel functions. Up to now, there does not seem to exist a shorter proof of this well-known computa-tion. In this semi-historical note we observe that Kac’s argument could have been greatly simplified back then, had he used the eigenfunction expansion associated to a real Schrödinger operator with linear poten-tial, evaluated in 1944 (and in the same linguistic part of the world) by R.-P. Bell [2]. Résumé La transformée de Laplace de l’intégrale de la valeur absolue d’un mouvement brownien a été calculée en 1945 par M. Kac [5], à l’aide d’une longue et subtile analyse asymptotique sur les fonctions de Bessel. À ce jour, il ne semble pas exister une preuve plus courte pour ce calcul bien connu. Dans cette note semi-historique nous remarquons que l’argument de Kac aurait pu être grandement simplifié s’il avait utilisé le développe-ment en série de fonctions propres associé à un opérateur de Schrödinger réel avec potentiel linéaire, calculé en 1944 (et dans la même partie lin-guistique du monde) par R.-P. Bell [2]